1、等比数列及其前n项和建议用时：45分钟一、选择题1(2019济南模拟)已知等比数列an中，a32，a78，则a5()A4B4C4D16A法一(求公比q)：设等比数列的公比为q，则a7a3q4，即82q4，所以q44，q22.所以a5a3q2224，故选A.法二(利用性质)：由aa3a7得a(2)(8)16，又等比数列的奇数项同号，所以a54，故选A.2在各项均为正数的等比数列an中，若a5a114，a6a128，则a8a9()A12 B4 C6 D32B由题意可得aa5a114，aa6a128，又各项均为正数，a82，a92，a8a94.故选B.3(2019德州模拟)记Sn是公比不为1的等比数
2、列an的前n项和，若2a2,3a3,4a4成等差数列，a11，则S3()A. B. C. D.B设等比数列an的公比为q(q1)，由2a2,3a3,4a4成等差数列，a11，可得6a32a24a4，即6q22q4q3，解得q1(舍去)或q，则S3.故选B.4已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列C两个等比数列的和不一定是等比数列，但两个等比数列的积一定是等比数列，故选C.5(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如
3、下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.二、填空题6(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5a80，S927，则S8的值是 16由题意可得：解得则S88a1d4028216.7设Sn是等比数列an的前n项和，若4，则 .根据题意得S44S2，即S2S4，由等比数列前n项和的性
4、质有(S4S2)2S2(S6S4)，得4S613S4，所以.8(2019临沂模拟)已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a57.若a3，a6，am成等比数列，则m .15设等差数列an的公差为d，由题意得解得a3，a6，am成等比数列，aa3am，即(a15d)2(a12d)a1(m1)d，813(2m3)，解得m15.三、解答题9(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为
5、an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.10(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列1已知正项等比数列an中，a1a5a927，a6与a7的等差中项为9，则a10()A.B.C96D729C由等比数列的性质可得a1a5a
6、9a27，所以a53.又因为a6与a7的等差中项为9，所以a6a718，设等比数列an的公比为q，则a6a7a5(qq2)18，所以qq26，解得q2或q3.又因为an0，所以q0，故q2.故a10a5q532596.故选C.2(2019郑州模拟)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)C设等比数列an的公比为q.由a5a2q32q3，解得q，由a2a12，得a14，因为数列anan1仍是等比数列，其首项是a1a28，公比为，所以a1a2a2a3anan1(14n)3在数列an中，已知a11，nSn13(
7、n1)Sn，则数列an的通项公式为an .(2n1)3n2因为nSn13(n1)Sn，所以3，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以3n1，所以Snn3n1.当n2且nN*时，anSnSn1n3n1(n1)3n2(2n1)3n2，当n1时，a11符合上式，所以an(2n1)3n2.4已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)证明：因为an15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)又a18，所以a1350，所以数列an3n是首项为5，
8、公比为5的等比数列，所以an3n5n，所以an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，则数列bn的前n项和Tn11121nnn.1九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少斗粟？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗粟、y斗粟、z斗粟，则下列判断正确的是()Ay2xz且xBy2xz且xC2yxz且x D2yxz且xB由题意可知x，y，z成公比为的等比数列，则xyzxxx5，解得x.由等比数列的性质可得y2xz.故选B.2若数列an的前n项和Sn满足Sn2an(0，nN*)(1)证明：数列an为等比数列，并求an；(2)若4，bn(nN*)，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)证明：由Sn2an可得S12a1，即a1.当n2时，anSnSn1(2an)(2an1)2an2an1，即an2an1.又a10，所以数列an是首项为，公比为2的等比数列，所以an2n1.(2)由(1)可知当4时，an2n1.从而bn所以T2n(22242622n)357(2n1)n22nn22n.