1、抛物线及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.(2013遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等
2、于8的点的横坐标是()A.5B.4C.3D.25.(2013汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的 纵坐标是.7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.8.(2012陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013宜春高二
3、检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.答案解析1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?【解析】由条件可知=7,即p=14.准线方程为x=-7,焦点是x轴正半轴上的(
4、7,0)点,故方程为y2=28x.2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,方程为y2=9x或y=-3x2.4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,x=5.5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.【解析】选C.y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,
5、动圆必过定点即焦点(2,0).【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P点的轨迹是()A.抛物线B.线段C.直线D.射线【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),则解得y0=.答案:7.【解析】抛物线方程为y2=2px,其焦点在x轴上,又圆(x-3)2+y2=16与x轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1
6、,0)或(-7,0),=1或-7,解得p=2或-14.答案:2或-148.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2(-3)=6,所以x=,水面宽是2米.答案:29.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,双曲线的方程为:-=1.
7、10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,所以y2=即点P的轨迹方程为y2=方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x0时,直线y=0(x0)上的点适合条件;当x0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x0).综上,点P的轨迹方程为y2=【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出
8、错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x0的情况.11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.【解析】(-2)284,点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQl于点Q,过点A作ABl于点B,由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|AQ|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.A(-2,4),不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).