1、 圆与圆的位置关系、直线与圆的 方程的应用层级一学业水平达标1已知两圆分别为圆C1：x2y281和圆C2：x2y26x8y90，这两圆的位置关系是()A相离 B相交C内切 D外切解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r19；圆C2的方程化为标准形式为(x3)2(y4)242，圆心为C2(3,4)，半径长r24，所以|C1C2| 5.因为r1r25，所以|C1C2|r1r2，所以圆C1和圆C2内切2两圆x2y2r2，(x3)2(y1)2r2外切，则正实数r的值是()A. B.C. D5解析：选B由题意，知2r ，r.3圆O1：x2y26x16y480与圆O2：x2y24x8y440的公切
2、线条数为()A4条 B3条C2条 D1条解析：选C圆O1为(x3)2(y8)2121，O1(3，8)，r11，圆O2为(x2)2(y4)264，O2(2,4)，R8，|O1O2| 13，rR|O1O2|Rr，两圆相交公切线有2条4圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70解析：选CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A、B、D.5台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(
3、)A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h解析：选B如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|20，时间为1 h.6若圆x2y22axa22和x2y22byb21外离，则a，b满足的条件是_解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以1，即a2b232.答案：a2b2327若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象(
4、图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.答案：18经过直线xy10与圆x2y22的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_解析：由已知可设所求的圆的方程为x2y22(xy1)0，将(1,2)代入可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.答案：x2y2xy09求与圆C：x2y22x0外切且与直线l：xy0相切于点M(3，)的圆的方程解：圆C的方程可化为(x1)2y21，圆心C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意可知解得所以所求圆的方程为(x4)2y24.10已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两
5、圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解：两圆的标准方程为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，解得m2510.(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦长为22.层级二应试能力达标1若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：选C依题意可得圆C1：x2y21
6、与圆C2：x2y26x8ym0的圆心分别为C1(0,0)，C2(3,4)，则|C1C2| 5.又r11，r2，由r1r215，解得m9.2若圆x2y2r2与圆x2y22x4y40有公共点，则r满足的条件是()Ar1C|r|1 D|r|1解析：选D由x2y22x4y40，得(x1)2(y2)21，两圆圆心之间的距离为.两圆有公共点，|r1|r1，1r1，即1r1，|r|1.3圆(x2)2y25关于直线xy10对称的圆的方程为()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x1)2(y1)25 D(x1)2(y1)25解析：选D由圆(x2)2y25，可知其圆心为(2,0)，半径为.设点(2,0)关于
7、直线xy10对称的点为(x，y)，则解得所求圆的圆心为(1，1)又所求圆的半径为，圆(x2)2y25关于直线xy10对称的圆的方程为(x1)2(y1)25.4点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，则|PQ|的最小值是()A5 B1C35 D35解析：选C圆C1：x2y28x4y110，即(x4)2(y2)29，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)24，圆心为C2(2，1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|(r1r2)35.5若圆O：x2y25与圆O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的
8、切线互相垂直，则线段AB的长为_解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在RtOO1A中，|OA|，|O1A|2，|OO1|5，|AC|2，|AB|4.答案：46过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程是_解析：设圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心代入l：2x4y10的方程，可得，所以所求圆的方程为x2y23xy10.答案：x2y23xy107已知圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O
9、2交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r122(1)，圆O2的方程是(x2)2(y1)2128.(2)由题意，设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x4yr80.圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r4或20.圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.8某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系由题意，得A(，)，B(0,2)，设圆的方程为(xa)2(yb)2b2，由A，B两点在圆上，得 或由实际意义知a0，b，圆的方程为x2(y)22，切点为(0,0)，观景点应设在B景点在小路的投影处
