1、2020-2021学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C概率是随机的，在试验前不能确定D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2复数的虚部是（）ABCD3现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（）ABCD4已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f（e）等于（）ABeCDe5执行如图程序后输出的结果是（）A1B0C1
2、D26甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（）A45B52C47D547如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f（2）（）ABCD8如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点若在矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（）ABCD9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M，MN面AA1B1B，则MN的长为（）ABC2D10已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）
3、ABCD11函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）Af（3）f（2）f（3）f（2）Bf（2）f（3）f（2）f（3）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）12若关于x的不等式x1在（0，+）上恒成立，则实数k的取值范围为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为 14已知复数z满足（1+i）z1+i，则|z| 15某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线
4、性回归方程为，则 x24568y253560557516已知函数f（x）ex+x2+（a+1）x+1在区间（1，0）有最小值，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17已知函数f（x）x3+bx+c在x2处取得极值10（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间18某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米
5、，至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代当3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？19设函数f（x）（1）若f（x）在（2，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0a2时，f（x）在区间1，4上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值20在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：选做A题选做B题合计男同学830女同学820合计20（1）请完成题中的22列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过97.5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间
6、为区间5，7内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为6，8内的一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率参考公式：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，O为AB的中点，PO平面ABCD，POCDDAAB4，M是PA的中点（1）求证：DM平面PBC；（2）求点A到平面PCD的距离22设函数f（x）+lnx，g（x）x3x23
7、（）讨论函数f（x）的单调性；（）如果对于任意的，都有x1f（x1）g（x2）成立，试求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C概率是随机的，在试验前不能确定D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0，1中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率随着试验次数的增加
8、，频率一般会越来越接近概率故选：D2复数的虚部是（）ABCD解：，复数的虚部是故选：B3现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（）ABCD解：由题意，有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是故选：A4已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f（e）等于（）ABeCDe解：根据题意，f（x）2xf（e）+lnx，其导数f（x）2f（e）+，令xe，可得f（e）2f（e）+，变形可得f（e），故选：C5执行如图程序后输出的结果是
9、（）A1B0C1D2解：模拟程序语言的运行过程，如下：n5，s0满足条件s14，执行循环体，s5，n4满足条件s14，执行循环体，s9，n3满足条件s14，执行循环体，s12，n2满足条件s14，执行循环体，s14，n1此时，不满足条件s14，退出循环，输出n的值为1故选：C6甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（）A45B52C47D54解：甲运动员的中位数为24，乙运动员的中位数为28，所以中位数之和为24+2852故选：B7如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f（2）（）ABCD解：由图可知f（x）在
10、x2处的切线方程为，即y，可得f（2），又f（2），f（2）+f（2）1故选：D8如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点若在矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（）ABCD解：由题意，点P取自阴影部分的概率为故选：C9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M，MN面AA1B1B，则MN的长为（）ABC2D解：如图，在A1AD中，作MEAD，交AA1于点E，在ABC中，作NFBC，交AB于点F，连接EF，正方体的棱长为2，ACA1D2，A1M，由，可得，可得A1E1，可得AEEM1，MN面AA1B1B，面MNEF面AA
11、1B1BEF，MNEF，又EMADFN，四边形EMNF是平行四边形，可得NFEM1，由，可得，可得AF1，EF，MNEF故选：A10已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）ABCD解：求导数可得f（x）x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b20有两不等实根，即4（a2b2）0，即ab，又a，b的取法共339种，其中满足ab的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P故选：D11函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）Af（3）f（2）f（
12、3）f（2）Bf（2）f（3）f（2）f（3）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）解：由图可得，0f（2）f（3）设A（2，f（2），B（3，f（3），则f（3）f（2），即为直线AB的斜率由图可知，直线AB的斜率大于f（2）小于f（3），即f（2）f（3）f（2）f（3）故选：B12若关于x的不等式x1在（0，+）上恒成立，则实数k的取值范围为（）ABCD解：关于x的不等式x1在（0，+）上恒成立，等价于在（0，+）上恒成立，设，则，令f（x）0，解得x2，当0x2时，f（x）0，则f（x）单调递减，当x2时，f（x）0，则f（x）单调递减，所以f（x）在x2
13、时取得极大值，即最大值，故f（x）的最大值为f（2），所以，则实数k的取值范围为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为 9解：由题意可知，样本中男生与总体中男生的比例为，由分层抽样可知，样本容量与总体容量的比例也为，又总体容量为45，故样本容量为故答案为：914已知复数z满足（1+i）z1+i，则|z|解：由（1+i）z1+i，得|z|故答案为：15某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为
14、，则10x24568y2535605575解：，；把（5，50）代入回归直线，得，解得故答案为：1016已知函数f（x）ex+x2+（a+1）x+1在区间（1，0）有最小值，则实数a的取值范围是 （2，1）解：函数f（x）ex+x2+（a+1）x+1的导数为f（x）ex+2x+（a+1），由yex+2x+（a+1）在（1，0）递增，设yex+2x+（a+1）的零点为t，可得1xt时，y0；tx0时，y0，可得xt为f（x）的极小值点，且为最小值点，所以（a+1）ex+2x（2+，1），解得a（2，1）故答案为：（2，1）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17已知函数f（
15、x）x3+bx+c在x2处取得极值10（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间解：（1）由题知f（x）3x2+b，f（2）0，即3（2）2+b0b12又f（2）10，即（2）3+（2）12+c10c6（2）由（1）知f（x）x3+12x+6f（x）3x2+123（x+2）（x2）令f（x）0，可得2x2；令f（x）0，可得x2或x2，f（x）在（，2），（2，+）上单调递减，在（2，2）上单调递增18某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如
16、下频率分布直方图（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代当3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？解：（1）由用水量的频率直方图可知：该市居民该月用水量在区间0.5，1，（1，1.5，（1.5，2，（2，2.5，（2.5，3内的频率依次是0，05，0.1，0.15，0.25，0.3，该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.385%而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.1530%是正数，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米
17、，就定为3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2，4（4，6（6，8（8，10（10，12（12，17（17，22（22，27频率0.050.10.150.250.30.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：40.05+60.1+80.15+100.25+120.3+170.05+220.05+270.0511.4（元）答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）19设函数f（x）（1）若f（x）在（2，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0a2时，f（x）在区间1，4上的最大值为，求f（x）在
18、该区间上的最小值【解答】解：（1）f（x）x2x2a若f（x）在（2，+）上有单调递减区间，则f（x）x2x2a0在（2，+）上有解即2ax2x在（2，+）上有解令，易知g（x）g（2）2，2a2，a1，即a（1，+）（2）令f（x）0得两根，f（x）在（，x1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减当0a2时，x11x24，f（x）在1，4上的最小值为f（x2），又即f（4）f（1）f（x）在1，4上的最大值为则，a1则f（x）在1，4上最小值为20在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：选做A题选做B题合计男同学830女同
19、学820合计20（1）请完成题中的22列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过97.5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间为区间5，7内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为6，8内的一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率参考公式：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）22列联表如下：选做A题选做B题合
20、计男同学22830女同学81220合计302050由表中的数据得，所以有超过97.5%得把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关（2）设甲同学解答一道“A题”需要x分钟，解答一道“B题”需要y分钟，记“甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时间更长”为事件A，则总的基本事件构成区域为，而满足事件A的基本事件构成的区域为，即图中的阴影部分，由几何概型知，所以甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时间更长的概率为21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，O为AB的中点，PO平面ABCD，POCDDAAB4，M是PA的中点（1）求证：DM平面PBC；（2）求点A到平面PCD的距离
21、【解答】（1）证明：取PB的中点N，连接MN，CN，易得MN/AB，且，又AB/CD且，可得MN/CD且MNCD，所以四边形MNCD为平行四边形，所以MD/CN因为CN面PBC，而DM面PBC，故DM/平面PBC（2）解：如图，连接AC，取CD的中点F，连接OF，PF，则OFCD因为PO平面ABCD，则POCD，又因为OFCD，OFPOO，得CD面POF，所以CDPF，所以OF，PF分别为ACD，PCD的高，由题意可求得，令点A到平面PCD的距离为d，因为V三棱锥APCDV三棱锥PACD，即，解得，即点A到平面PCD的距离为22设函数f（x）+lnx，g（x）x3x23（）讨论函数f（x）的单
22、调性；（）如果对于任意的，都有x1f（x1）g（x2）成立，试求实数a的取值范围解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增；当a0时，若，则f（x）0，函数f（x）单调递增；若，则f（x）0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增（），可见，当时，g（x）0，g（x）在区间单调递增，当时，g（x）0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）1恒成立，即 恒成立，亦即axx2lnx； 令，则h（x）1x2xlnx，显然h（1）0，当时，1x0，xlnx0，h（x）0，即h（x）在区间上单调递增；当x（1，2时，1x0，xlnx0，h（x）0，（1，2上单调递减；所以，当x1时，函数h（x）取得最大值h（1）1，故 a1，即实数a的取值范围是1，+）