1、第六节直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2.间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的
2、证明方法叫做反证法一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1对于任意角，化简cos4sin4()A2sin B2cos Csin 2 Dcos 2Dcos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2.2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内
3、角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60B“至少有一个不大于60”的否定是“没有不大于60”，即“三个内角都大于60”，故选B.3若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPQ D由a的取值确定A由题意知P0，Q0，P22a132，Q22a132.，P2Q2，PQ，故选A.4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为 三角形等边由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，A
4、BC，ABC为等边三角形考点1综合法的应用利用综合法证明问题的思路设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.当且仅当“abc”时等号成立；(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.母题探究1若本例条件不变，证明a2b2c2.证明因为abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为2aba2b2,
5、2bcb2c2,2aca2c2，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c2.2若本例条件“abc1”换为abc1，其他条件不变，试证：a2b2c2.证明a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.a2b2c2abbcca，当且仅当abc1时等号成立所以a2b2c2.解答本例第(2)问时，通过基本不等式去掉分母，然后把得到的不等式相加得到答案，这是常用的方法教师备选例题已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值证明(1)函数f(x)的定义域为全体实
6、数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，(当且仅当abc时取等号)(2)a0，3a11，(3a1)24，33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，(当且仅当abc时取等号)考点2分
7、析法的应用利用分析法证明问题的思路及格式(1)分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证(2)分析法的格式通常采用“要证(欲证)”“只需证”“即证”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性(1)若a，b(1，)，证明.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立(2)已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就
8、是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得，b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立解答本例T(2)时，先用分析法得到“需证c2a2acb2”，再用综合法证明这个结论成立，这是常用的方法教师备选例题已知a，bR，abe(其中e是自然对数的底数)，用分析法证明：baab.证明ba0，ab0，要证：baab，只要证：aln bbln a，只要证：(abe)，取函数f(x)，则f(x)，当xe时，f(x)0，即函数f(x)在(e，)是减函数当abe时，有f(b)f
9、(a)，即，得证已知a0，证明：a2.证明要证a2，只需证(2)因为a0，所以(2)0，所以只需证，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立当a1时等号成立，所以要证的不等式成立考点3反证法的应用反证法证明问题的三步骤证明否定性命题设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn.则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，当q1时，Sn，当q1时，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)证明：假设数列an1是等比数列，则(a1
10、1)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因为an是等比数列，公比为q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，这与已知q1矛盾，所以假设不成立，故数列an1不是等比数列当结论是否定性命题时，无法用综合法求解，宜用反证法证明教师备选例题设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)
11、当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列证明“至多”“至少”命题已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根证明假设三个方程都没有两个相异实根则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三个式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab
12、)2(bc)2(ca)20.所以abc这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾因此假设不成立，故三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根“至多”“至少”命题情况较为复杂，宜用反证法证明1.(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙A假设甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人成绩由高到低为甲、乙、丙；假设乙预测正确，则丙也预测正确，不合题意；假设丙预测正确，则甲预测错误，于是三人成绩由高到低为丙、乙、甲，从而乙预测正确，不合题意，综上知三人成绩由高到低为甲、乙、丙2设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，当且仅当ab1时，等号成立，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立