1、08 应考疑难解析 “慢镜头”处理弹簧类问题摘要：弹簧类问题是高考中不可忽视的一个重要问题，它涉及的知识面相当广泛，因此解决的难度也很大。弹簧的特点一个是形变不可突变，二是对接触的两端物体的作用力大小相等，三是弹簧形变过程中不会损失能量。抓住这几个特点，细化过程的各个细节，是处理弹簧类问题的重要手段。处理弹簧类问题，要求学生一定要稳而慢，不要跳跃。关键词：弹簧 弹性势能 机械能守恒 细节 慢镜头0引言与弹簧有关的问题，是高考考查的一个重要方面，因为，弹簧可以涉及力学、简谐运动、机械能、动量等问题。而且，弹簧类问题有历来是学生们感到头疼的问题之一，这大约是因为与弹簧本身这种特殊的东西有关系，它的
2、一个很显著的特点就是形变不可突变。所以，我们解决此类问题的一个重要工作，就是要能够细化弹簧作用的过程，形象地说，就是将整个作用过程进行“慢镜头”处理，将主要的细节充分展示出来，最终落实到受什么样的力和做什么样的运动上。1类碰撞型弹簧问题此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类，而其主要特点则是与碰撞问题类似，但是，它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长，而碰撞类问题的作用时间极端，基本在处理的是忽略不计的。AB例1 （2007天津卷）如图1所示，物体B静止在光滑的水平面上，B的左边固定有轻质的弹簧，与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞，A,B始终沿统一直线，
3、则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是 图 1A. A开始运动时B. A的速度等于v时C. B的速度等于零时D. A和B的速度相等时解析：解决这样的问题，最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化。具体分析如右图，开始A物体向B运动，如右上图；接着，A与弹簧接触，稍有作用，弹簧即有形变，分别对A、B物体产生如右中图的作用力，对A的作用力的效果就是产生一个使A减速的加速度，对B的作用力的效果则是产生一个使B加速的加速度。如此，A在减速，B在加速，一起向右运动，但是在开始的时候，A的速度依然比B的大，所以相同时间内，A走的位移依然比B大，故两者之间的距离依然在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的作用力越
4、来越大，对A的加速作用和对B的加速作用而逐渐变大，于是，A的速度不断减小，B的速度不断增大，直到某个瞬间两个物体的速度一样，如右下图。过了这个瞬间，由于弹簧的压缩状态没有发生任何变化，所以对两个物体的作用力以及力的效果也没有变，所以A要继续减速，B要继续加速，这就会使得B的速度变的比A大，于是A、B物体之间的距离开始变大。因此，两个物体之间的距离最小的时候，也就是弹簧压缩量最大的时候，也就是弹性势能最大的时候，也就是系统机械能损失最大的时候，就是两个物体速度相同的时候。2机械能守恒型弹簧问题对于弹簧，当外界用力压弹簧时，弹簧会被压缩，从而获得弹性势能，当弹簧开始恢复形变之后，它又会将所蓄积的弹
5、性势能释放出去，这个蓄积和释放的过程，弹簧自身并不会耗费能量。此外，对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。例2 (2007丰台一模)如下左图所示，物体A、B的质量分别是4.0kg和6.0kg，用轻弹簧相连结放在光滑的水平面上，物体B左侧与竖直墙相接触。另有一个物体C从t=0时刻起以一定速度向左运动，在t=5.0s时刻与物体A相碰，并立即与A粘在一起不再分开。物块C的v-t图象如下右图所示。求：物块C的质量；墙壁对物体B的弹力F在5.0s到1
6、0s的时间内对B做的功W和在5.0s到15s的时间内对B的冲量I的大小和方向；B离开墙后弹簧具有的最大弹性势能Ep。Ov/(ms-1)t/s62-2451015ABCv解析：在本题里面，A、C物体相碰成为一体之后，压缩弹簧，到自身速度变为零之后，弹簧被压缩最短，AC所具有的动能全部转化为弹簧的弹性势能，而后，弹簧开始恢复形变，等到恢复到原长的时候，它所蓄积的能量又全部转化为了AC的动能，这个过程并没有什么能量损失，所以AC的速度大小才没有改变。此后，AC继续向右运动，弹簧被拉伸，所产生的弹力AC开始起减速作用，对B则起到加速作用，B也因此离开墙面，但是，由于在刚开始的时候，AC的速度依然比B的
7、速度大，所以弹簧伸长量继续加大，产生的弹力对AC的减速和对B的加速效果更加明显，直到某个瞬间，两个物体速度相同，弹簧伸长量达到最大，此时也就是弹簧具有最大弹性势能的位置。过了此刻，由于弹簧依然是压缩状态，所以，弹力的对AC的减速和对B的加速作用没有变化，这就造成B的速度开始比AC的大，两者之间的距离开始变小，逐渐恢复到原长，此后继续的将是如例1的过程，如此往复。FAB例3 一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B，将它们竖直静止在水平面上，如图所示。现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面。求：此过程中
8、所加外力F的最大值和最小值。此过程中力F所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g = 10m/s2）解析：分析此题的关键仍然是在于是否能够细化运动过程的细节。具体过程细化如下图。在力F刚刚作用在A上的瞬间，A物体受力如下图（1）所示，此时，有T=mg，根据牛顿第二运动定律故有F=ma；此后，A向上运动，弹簧压缩量逐渐减小，所产生的对A的向上的弹力逐渐减小，则要保持A的加速度不变，则F必须变大，以满足F+T-mg=ma，如下图（2）。某一个时刻，达到下图（3）中的位置，弹簧正好恢复原长，此瞬间，弹簧弹力消失，只有F-mg=ma；再后来，A物体继续向上运动，弹簧开始拉伸形变的过程，则物体A的
9、受力情况如下图（4）所示，所以有F-T-mg=ma。等到弹簧拉伸到足够长，使得B物体恰好离开地面时，弹簧弹力大小等于B物体的重力，见下图（5）。把这个过程分析清楚之后，剩余的问题就好解决多了。结合有关公式可得：开始时弹簧压缩量是x=0.15m，B刚要离开地面时弹簧伸长量x=0.15m，因此A的位移是0.3m，加速度是3.75m/s2。开始时刻F=ma=45N；B刚要离开地面时F-mg-kx=ma，得F=285N。拉力做的功等于系统增加的机械能，始末状态弹性势能相同。 借助和，可得此过程中拉力做的功等于49.5J。例4 （2006海淀一模）如图所示，物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地
10、静置在水平面上。将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力。（1） 求A与B碰撞后瞬间的速度大小。（2） A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面压力为多大？（3） 开始时，物体A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？解析：首先，我们还是来细化这个运动过程。第一个细节，A自由落体（下图（1）；第二个细节，A、B发生碰撞，作用时间极端，时间忽略，弹簧形变来不及发生改变（下图（2）；
11、AB成为一体后的瞬间，受力下图（2），而且可知F1=mg2mg，所以物体AB所受合力仍然为向下，物体仍然向下加速；随着运动的进行，弹簧压缩量增多，产生的弹力变大，物体AB所受合力则变小，但是方向没有变（见下图（3），所以，物体AB继续加速向下压缩弹簧，到下图（4）的位置时，弹簧的弹力正好有F3=2mg，此时，物体AB合力为0，速度达到某个值，仍然向下，也就是说物体要继续向下运动，则弹簧继续被压缩，压缩量继续增加，产生的弹力继续增加，从而大于2mg，使得物体AB所受合力变为向上，物体开始向下减速。所以，当物体AB所受合力为0时就是该物体速度最大的时候。问题分析到这里，第（1）、（2）两问的结果也
12、就不难出来了，这里就不再具体计算。至于等到弹簧压缩量最大，也即物体速度变为0之后，后续的运动就是上述运动的逆过程，最后C物体恰好离开的状态，可参考例3的分析，此处不再赘叙。3 简谐运动型弹簧问题x0O弹簧振子是简谐运动的经典模型，有一些弹簧问题的处理，就离不开这一点，或者说，在某些问题里面，如果能够从简谐运动的角度思考，问题的难度将大大下降。例5 如图所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图象，可能
13、是下图中的aOxgx0aOxgx0aOxgx0aOxgx0A B C D解析：本题物体的运动过程与例4类似，所以参考例4的分析即可。此外，我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力，而弹力与形变量成正比，所以加速度与位移之间也应该是正比例关系。但是，物体在最低点的加速度与重力加速度的比较，就最好借助简谐运动来处理。事实上，该物体所做的运动的确符合简谐运动的特征，所以，根据简谐运动的特点，很明就可以知道，最大的加速度一定比重力加速度要大，具体可参考例6。例6 （2007崇文一模）如图所示，一质量为m的小球从弹簧的正上方H高处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在压缩的全过程中（忽略空气阻力且在弹性限度内
14、），以下说法正确的是（ ）A小球所受弹力的最大值一定大于2mgB小球的加速度的最大值一定大于2gC小球刚接触弹簧上端时动能最大 D小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大解析：本题是一个典型的简谐运动模型问题。先假设，小球正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时小球所受的合力也是mg，方向向上，所以弹力为2mg，加速度为g。现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于2mg，加速度必定大于g。至于过程中的能量问题，则参考例4分析即可。4.小结弹簧类问题难就难在弹簧的变化过程是一个渐变过程，而且过程中的力不是恒定的。因此，把握弹簧类问题，关键在于把握好弹簧形变的过程以及对物体产生的力所应起的作用效果。在解题的时候，能够多动手画一画过程图，将变化过程“慢镜头”处理，此类问题也就可以顺利解决了。
