1、江苏省南通市通州区2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在象限是（ ）A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】根据复数几何意义，即可求得答案.【详解】复数对应的点故：复数对应的点在二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了求复数点所在象限，解题关键是掌握复数的几何意义，考查了分析能力，属于基础题.2.已知回归直线方程中斜率的估计值为，样本点的中心，则回归直线方程为（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得在线性回归方程中，然后根据回归方程过样本点的中心得到的值，进而可得所求方程【详解】设线性回归方程中，由题意得，又回归直线过样本点的中心，回归直线方程为故选A【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题3.已知随机变量的分布列为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可.【详解】随机变量的分布列为，故选
3、：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ）A. 36B. 72C. 600D. 480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（ ）A. 0.42B. 0.2016C. 0.1008D. 0.0504【答案】B【解析】【分析】本题是一个相
4、互独立事件同时发生的概率，两人各投两次，两人都投中1次的概率为，从而得到答案【详解】甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，两人都投中1次的概率为故选：B.【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，解题关键是掌握相互独立事件概率的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6.设，且，若能被17整除，则的值为（ ）A 1B. 4C. 13D. 16【答案】D【解析】【分析】由，按照二项式定理展开，根据它能被整除，结合所给的选项可得的值【详解】，且，由 又 能被17整除 能被17整除，结合 故选：D【点睛】本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和计
5、算能力，属于基础题.7.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（ ）附：若，则，.A. 1500B. 1700C. 4500D. 8000【答案】A【解析】【分析】利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论.【详解】考试的成绩服从正态分布， 即数学成绩优秀高于分的学生占总人数的. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出的概率.8.函数，的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断
6、函数的奇偶性和对称性，时，函数值结值不趋近正无穷，利用排除法，即可求得答案.【详解】 由，可得 ，故函数，不是奇函数，排除B，D； ，时，函数值结值不趋近正无穷排除B综上所述，只有A符合题意故选：A【点睛】本题考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用排除法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.若，则的值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 18【答案】AC【解析】【分析】由，可得或，即可求得答案.【详解】 或解得：或
7、 故选：AC【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10.直线能作为下列（ ）函数的图像的切线.A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】依次计算每个选项中的导数，计算是否有解得到答案.【详解】，故，无解，故排除；，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确；，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.11.下列说法正确的有（ ）A. 任意两个复数都不能比大小B. 若，则当且仅当时，C. 若，且，则D. 若复数满足，则的最大值为3【答案
8、】BD【解析】【分析】根据复数定义，复数的几何意义，逐项判断，即可求得答案.【详解】A，复数,当 时, 为实数,可以比较大小, A为假命题.B，复数,当 时, 且 ,B为真命题.C，当 时, ,但C为假命题.D，设复数满足，可得： 即：， 由，可得将代入可得：D为真命题.故选：BD【点睛】本题解题关键是掌握复数的基础知识，掌握复数几何意义，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.12.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）A. B. 展开式中常数项为160C. 展开式系数的绝对值的和1458D. 若为偶数，则展开式中和的系数相等【答案】ACD【解析】【分析】中，给赋值1求出各项
9、系数和,列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出通项，进而可得结果.【详解】对于A， 令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，故A正确；对于B，展开式的通项为，当展开式是中常数项为：令,得可得展开式中常数项为：，当展开式是中常数项为： 令得(舍去)故的展开式中常数项为.故B错误；对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等，令，可得：展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；对于D，展开式的通项为，当为偶数，保证展开式中和的系数相等和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，和
10、系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，故D正确；综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.计算_.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.14.规定，其中，且，这是排列数（，且）一种推广.则_，则函数的单调减区间为_.【答案】 (1).
11、(2). 【解析】【分析】利用定义即可得出，函数，利用导数研究其单调性，即可求得答案.【详解】则令，即：解得：函数的单调减区间为：故答案为：，【点睛】本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，及其根据导数求函数单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_.【答案】3【解析】【分析】设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为，则服从超几何分布，利用公式()，即可求得答案.【详解】口袋中有白球个，由已知可得取得白球个数的可能取值为，则服从超几何分布，故答案为：【点睛】本题解题关键
12、是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.16.已知，若，则的值为_.【答案】43【解析】【分析】因为的展开通项为：，根据，求的，将所给等式两边求导，即可求得的值.【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令，得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，（其中为虚数单位）.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析
13、】（1）由，可得，由为纯虚数，即可求得；（2）因为，故，即可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，为纯虚数，且，.（2），即，解得.【点睛】本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18.在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）求的值；（2）求展开式中含的项.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，可得：，整理得，即可求得的值；（2）当时，展开式的第项为，令，即可求得含的项.【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，整理得，即，
14、又，的值为7.（2）当时，展开式的第项为，其中且.令，得，展开式中含的项为.【点睛】本题解题关键是掌握二项式通项公式，掌握二项式的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的列联表.甲组乙组合计男生3女生13合计4060（1）将列联表补充完整，判断是否有的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概
15、率.附：，.参考数据及公式：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）见解析，有的把握认为学生按成绩分组与性别有关.（2）【解析】【分析】（1）根据所给数据填写列联表，计算出，即可求得答案；（2）甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为，即可求得答案.【详解】（1）列联表补充如下：甲组乙组合计男生27330女生131730合计402060根据列联表中的数据，可以求得，有的把握认为学生按成绩分组与性别有关.（2）甲组有40人，乙组有20人，若用分
16、层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人.从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为.故：至少有1人在甲组的概率为.【点睛】本题解题关键是掌握卡方的求法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20.已知函数，.（1）当时，求函数在区间上最大值；（2）当时，求函数的极值.【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）当时，可得：.，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.【详解】（1）当时，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+极大值极小值由于，所以函数
17、在区间上的最大值为2.（2），令，得或.当时，所以函数在上单调递增，无极值.当时，列表如下：+0-0+极大值极小值函数的极大值为，极小值为.【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.21.为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设，分别表示分配到“雷神山”、“火
18、神山”两家医院的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院”为事件，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，求出基本事件总数和事件情况数，根据概率计算公式，即可求得答案；（2）若要求每家医院至少1人共有种等可能的基本事件，随机变量的所有取值为1，3，5，求得，即可求得分别列，根据期望计算公式，即可求得答案.【详解】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院”为事件，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有种等可能的基本事件，其中事件包含种情况，所以.故：7名
19、医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为.（2）若要求每家医院至少1人共有种等可能的基本事件，随机变量的所有取值为1，3，5，；. 随机变量的分布列为135 数学期望.故：数学期望的值为.【点睛】本题主要考查了求事件的概率和数据的期望，解题关键是掌握概率计算公式和期望的求法，考查了计算能力和分析能力，属于基础题.22.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，求函数的单调区间；（3）设，求证：当时，函数恰有2个不同零点.【答案】（1）（2）单调增区间为和；单调减区间为和.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得，所以，即可求得答案；（2），根据导数，分别
20、讨论和函数的单调性，即可求得函数的单调区间；（3）因为，设，得，令，当，结合已知和零点定义，即可求得答案.【详解】（1）由，得，曲线在处的切线方程为.（2），当时，函数的单调增区间为.当时，令，得；令，得或，函数的单调增区间为；单调减区间为和.综上所述，函数的单调增区间为和；函数的单调减区间为和.（3）由题意知，得，令，当时，在上单调递增，又，存在唯一的，使得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故是的唯一极值点，令，当时，在上单调递减，即当时，即，又，函数在上有唯一的零点，又在上有唯一的零点，函数恰有2个不同零点.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求证零点个数，解题关键是掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
