1、山东省聊城市2020届高三数学二模试题（含解析）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据补集与交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以或所以又所以故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算，属于基础题.2.在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根，已知方程的一个根为1+i(i为虚数单位)，则( )A. 1-iB. -1+iC. 2iD. 2+i【答案】B【解析】【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，再
2、根据复数代数形式的除法法则计算即可得出【详解】解：是关于的实系数一元二次方程的一个根，也是此方程的一个虚根，所以故选：B【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系以及复数代数形式的除法运算，属于基础题3.已知，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质分别判断的范围，即可得解；【详解】解：因为，又，即，即，所以，故选：D【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.4.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全
3、有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( )A. 15B. 60C. 90D. 540【答案】C【解析】【分析】根据平均分组的方法计算可得；【详解】解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有（种）故选：C【点睛】本题考查平均分组分配问题，属于基础题.5.已知双曲线，则是双曲线C的离心率大于的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为双曲线，若，则，所以，故
4、充分性成立；若，则，所以，故必要性不成立；故是双曲线C的离心率大于的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义的应用，双曲线的离心率的计算，属于基础题.6.在年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，、两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中校排球队胜校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得，分为若校排球队胜，即校前三局中赢了局
5、，且校还赢了第四局和若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局这两种情况，分别计算概率，即可求出结果.【详解】解：四局结束比赛可分为校排球队胜和校排球队胜两种情况.若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局，则概率；若校排球队胜，即校前三局中赢了局，且校还赢了第四局，则概率.则四局结束比赛的概率故选：D.【点睛】本题考查独立重复实验的概率计算，体现了转化的数学思想，属于基础题.7.我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】假设为刍童外接球的
6、球心，连接,交于点，连接,交于点，由球的几何性质可知，在同一条直线上，由题意可知， 平面，平面，设，利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出的值，进而求出外接球的半径，即可求出体积.【详解】解：假设为刍童外接球的球心，连接,交于点，连接,交于点，由球的几何性质可知，在同一条直线上，由题意可知， 平面，平面，.设，在中，在矩形中， .在中，在矩形中，.设外接球的半径，解得.则.即.则该刍童外接球的体积.故选：C.【点睛】本题考查几何体的外接球体积的求法，考查空间想象能力，找到球心是关键，属于中档题.8.随机变量的分布列为：012其中，下列说法不正确的是( )A. B. C. D()随b的增大而
7、减小D. D()有最大值【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质得正确；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案.【详解】根据分布列的性质得，即，故正确；根据期望公式得，故正确；根据方差公式得，因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；故选：C【点睛】本题考查了分布列的性质和数学期望与方差公式，属于基础题,二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民消费价格水平变动情况的宏观经济指标.某年的，以下是年居民消费价格指数的柱形图.从
8、图中可知下列说法正确的是( )A. 年居民消费价格总体呈增长趋势B. 这十年中有些年份居民消费价格增长率超过3%C. 2009年的居民消费价格出现负增长D. 2011年的居民消费价格最高【答案】ABC【解析】【分析】根据的定义以及柱形图，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】由柱形图可知，年的均大于100，说明其中每一年的居民消费价格都大于前一年的居民消费价格，所以年居民消费价格总体呈增长趋势是正确的.故正确；2009年的的值小于100，说明当年的居民消费价格低于2008年的居民消费价格，所以2009年的居民消费价格出现负增长是正确的，故正确；由柱形图可知，2010年的居民消费价格的增长率为，2
9、011年的居民消费价格的增长率为，都超过了，故正确；由柱形图可知，2011年的居民消费价格的增长率最高，从年每年的居民消费价格都在增长，所以2018年的居民消费价格才是最高的，故不正确.故选：ABC【点睛】本题考查了对柱形图的理解和应用，属于基础题.10.下列关于函数的叙述正确的为( )A. 函数有三个零点B. 点(1，0)是函数图象的对称中心C. 函数的极大值点为D. 存在实数a，使得函数为增函数【答案】ABC【解析】【分析】令函数等于零即可求出零点个数，可判断出选项A；由可得出函数图像关于点(1，0)中心对称，可判断出选项B；由导函数求出函数单调区间，根据函数单调性即可得出最大值点，可判断
10、出选项C；根据导函数判断出是否存在实数a，使得，可判断出选项D.【详解】，令，则或或，所以函数有三个零点，所以A正确；，所以，所以函数图像关于点(1，0)对称中心，所以B正确；求出的导函数，令，则或，令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时函数有极大值，所以函数的极大值点为，所以C正确；假设函数为增函数，则恒成立，由上可知当或时，若要满足，则需在和上恒成立，图像如下，如图所示函数在上不可能恒成立，所以不存在这样的实数a，所以D错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查函数的性质，涉及到函数的零点，对称中心，极值以及单调性等问题，考查学生综合分析问题的能力.11.已知抛物线过点则下列
11、结论正确的是( )A. 点P到抛物线焦点的距离为B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C. 过点P与抛物线相切的直线方程为D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值【答案】BCD【解析】【分析】先根据抛物线过点，求得抛物线方程. 对于A，利用求解验证.对于B，设，与联立，利用求解验证.对于C，设直线方程为，与联立，利用求解验证.对于D，设，与联立，求得点，同理，利用斜率公式求解验证.【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为：，焦点坐标为对于A，故A错误.对于B，所以，与联立得：，所以，所以，故B正确.对于C，依题意斜率存在，设
12、直线方程为，与联立得：，解得，所以切线方程为，故C正确.对于D， 依题意斜率存在，设，与联立得：，所以，即，则，所以点，同理，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查抛物线的方程求法，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，所以中档题.12.设函数是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间0，1上，其中集合，则下列结论正确的是( )A. B. 在2m，2m+1(mN)上单调递增C. 在内单调递增D. 的值域为0，1【答案】AC【解析】【分析】A. 利用函数的奇偶性和周期性求解.B. 当时， 2m，2m+1，取特殊值验证. C. 根据，且，则，由求解.
13、D. 根据特殊点验证.【详解】A. ，故正确.B. 当时， 2m，2m+1，因为在0，1上，当时，所以不单调递增，故错误.C. 因为，且，则，所以，所以在内单调递增，故正确.D. 当时，但从图象上挖走时，若时，解得，所以 0，1，的值域不是0，1，故错误.故选： AC【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了分析转化求解问题的能力，属于中档题.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数关系求得，由已知角与未知角的关系进行转化，再由三角恒等变换求值即可.【详解】因为，则，且，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数中给值求值问
14、题，注意已知角与未知角的关系转化，属于简单题.14.已知，若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由已知分段函数的图像和性质以及，可计算，进而分别构造，再由双勾函数性质求最值即可.【详解】已知分段函数在两端区间内都是单调函数，若，则必然分属两段内，不妨设，则，即当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，此时a=e（不符合题意），当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，所以，此时.故的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查在分段函数的图象下由函数值相等转化自变量关系，还考查了构造函数求最值，属于较难题.15.在中，已知，M为BC的中点，N在AC上，且与BN相交
15、于点P，则cosMPN=_.【答案】【解析】【分析】设，根据M为BC的中点，得到，从而有，再根据三点共线，解得，得到，同理得到，进而得到，然后利用平面向量的数量积的夹角公式求解.【详解】如图所示：设，因为M为BC的中点，N在AC上，且，所以，所以，因为三点共线，所以，所以，所以，解得，所以，同理，所以，所以，,，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理以及平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学
16、家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有_.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为_.cm(结果保留整数)(参考数据 【答案】 (1). 20 (2). 22【解析】【分析】首先根据足球表面的规律，设正五边形为块，正六边形为块，列出方程组，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正
17、五边形为块，正六边形为块，有题知：，解得.所以足球有个正六边形的面.每个正六边形的面积为.每个正五边形的面积为.球的表面积.所以，.所以足球的直径为.故答案为：，.【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若求的前n项和Tn【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知递推关系求首项，并可证数列是以为首项，1位公差的等差数列，最后由等差数列通项公式表示答案即可；（2）由（1）
18、表示数列的前n项和，进而表示数列的通项公式，最后由裂项相消法求数列的前n项和.【详解】（1）当时，或（舍）当时，因为，两式相减得，因为数列的各项均为正数，则，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故其通项公式（2）由（1）可知，则所以.【点睛】本题考查由求数列得通项公式，还考查了利用裂项相消法求数列的和，属于中档题.18.在acosB+bcosA=cosC；2asinAcosB+bsin2A=a；ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinxcosx+2cos2x的最小
19、正周期为，c为在0，上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.【答案】三种情况，a-b的取值范围都是【解析】【分析】对于，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同得到结果；对于，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同得到结果.【详解】函数=2sinxcosx+2cos2x，函数的最小正周期为，则，当0，故c=3,若选，acosB+bcosA=cosC,由正弦定理得可得，,又C为三角形内角，则，由正弦定理得，则,因为
20、故.若选，2asinAcosB+bsin2A=a，由正弦定理得，又C为三角形内角，则，（舍去），由正弦定理得，则,因为故.若选，ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，可得,又C为三角形内角，则，由正弦定理得，则,因为故.【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题.19.如图，将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，其中，弧的长为，AB为O的直径.（1）在弧上是否存在点(，在平面的同侧)，使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由.（2）求二面角的余弦值【答案】（1）存在，当为圆柱的母线时，；（2）.【解析】【
21、分析】（1）当为圆柱的母线时，连接，根据平面得到，根据圆的直径为得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可得到.（2）首先以为原点，分别为，轴，垂直于，轴直线为轴建立空间直角坐标系，分别计算平面和平面的法向量，代入公式计算即可.【详解】存在，当为圆柱的母线时，.如图所示：连接，因为为圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以.因为为圆的直径，所以.，所以平面.因为平面，所以.（2）以为原点，分别为，轴，垂直于，轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：，因为的长为，所以，.设平面的法向量，令，解得，.所以.因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.所以，因为二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】
22、本题第一问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）定值，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得出关于、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；（2）分两种情况讨论，当直线的斜率为零时，计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可计算出为定值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可得，解得
23、，因此，椭圆的方程为；（2）当直线的斜率为零时，则点、为椭圆长轴的端点，则；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，联立，消去得，恒成立，由韦达定理得，因此，.综上所述，（定值）.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了中华人民共和国个人所得税法.公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下并制作
24、了时间代号x与个人所得税收入的如如图所示的散点图:根据散点图判断，可用y=menx与作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据:以下计算过程中四舍五入保留两位小数.（1）根据所给数据，分别求出，中y关于x的回归方程；（2）已知2018年个人所得税收人为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?（3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜? (只需叙述，不必计算)附:对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:【答案】（1）；（2） ；（3）见解析【解析】【分析】（1
25、）y=menx，两边取对数得： ，令，转化为线性回归分析，利用表中数据，代入 求解.，令，转化为性回归分析，利用表中数据，代入求解.（2）将，分别代入，求值比较，哪个更接接近13.87千亿元，哪个就适宜作为y关于时间代号x的回归方程.（3）还可以计算两个回归方程的残差，残差的平方和越小，拟合效果越好.【详解】（1）因为y=menx，两边取对数得： ，令，由表中数据得：，所以，所以，所以，令，由表中数据得：，所以，所以.（2）当时，因为2018年个人所得税收人为13.87千亿元，所以更适宜作为y关于时间代号x的回归方程.（3）还可以计算两个回归方程的残差，残差的平方和越小，拟合效果越好.【点睛】
26、本题主要考查了回归分析以及回归方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）对a(0，1)，是否存在实数，使成立，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存，.【解析】【分析】（1）求函数导数，分三种情况，分析与的关系，即可求出函数的单调区间；（2）由题意转化为且，利用导数求出，即转化为，构造函数，利用导数可求出，即可求解.【详解】（1）的定义域为， ，当a=0时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当a0时， ，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当a0时，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由，得，当时，时，故在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，当时，由（1）知，当时，所以，若对使成立，即则且.所以，所以 .设，则，令则，当时，由，故，所以，故，所以在0,1上单调递减，所以时，即,又时, ,所以当时，单调递减，所以当时，即时，故.所以当时，对使成立【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，恒成立问题，转化思想，分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.
