1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课堂探究探究一 利用向量方法判定线、面的位置关系解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法【典型例题1】 (1)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)(2)设u，v分别是两个不重合的平面，的法向量，判断，的位置关系：u(1，1,2)，v；u(0,3,0)，v(0，5,0)(3)设u是的法向量，a是直线l的
2、方向向量，判断，l的位置关系：u(2,2，1)，a(3,4,2)；u(0,2，3)，a(0，8,12)解：(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l1l2.(2)u(1，1,2)，v，uv0，uv，.u(0,3,0)，v(0，5,0)，uv，uv，.(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua0，ua，l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，ua，ua，l.探究二 平面法向量的求法求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可【典型例题2】 已知三
3、点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量思路分析：设平面ABC的一个法向量为n，则n垂直于平面ABC内的任意向量，不妨取，然后将向量垂直转化为数量积为0，求得n.解：设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，由题意得(1,1,0)，(1,0，1)因为n，n，所以令x1，得yz1，所以平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)归纳求法向量的步骤为：(1)设法向量n(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)；(3)建立方程组(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以
4、特殊值，从而得到平面的法向量探究三 利用向量法证明空间中的平行关系用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行【典型例题3】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.思路分析：证明线面平行有三种方法：
5、一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理证法一：()，MN平面A1BD.证法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，MN平面A1BD.证法三：()()()0D.即可以用与线性表示，与，是共面向量，平面A1BD，即MN平面A1BD.探究四 向量法证明垂直关系证两直线垂直可转化为证两直线的方
6、向向量垂直(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.向量法证明线面垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成【典型例题4】 如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)AECD；(2)PD平面ABE.思路分析：(1)建立空间直角坐标系确定，的坐标计算AECD；(2)求平面ABE的法向量n判断满足kn(
7、kR)PD平面ABE或确定，的坐标计算，PD平面ABE.证明：(1)AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系设PAABBC1，则P(0,0,1)ABC60，ABC为正三角形C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，.又，0，即AECD.(2)证法一：(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.证法二：P(0,0,1)，.又P(1)0，即PDAE.又(1,0,0)，0，PDAB.又ABAEA，PD平面ABE.【典型例题5】 在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD9
8、0，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.思路分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设ABa，则B(0,0,0)，D(0，a,0)，A(0,0，a)，C，E，F.BCD90，CDBC.又AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.为平面ABC的一个法向量设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，则由n0，得xy.由n0得zy，取y1，得n(1,1，)n0，n，平面BEF平面ABC.探究五 三垂线定理及其逆定理1三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问
9、题：(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反2三垂线定理及逆定理应用中的三个环节用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影【典型例题6】 如图，空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内的射影 O1是BCD的垂心，求证：B在平面ACD内的射影O2必是ACD的垂心思路分析：应用三垂线定理一定要分清斜线与射影，并注意第三条垂线要与射影在同一平面内证明：连接DO1，BO1，AO2，CO2.O1是BCD的垂心，DO1BC.又AO1平面BCD，BCAD(三垂线定理)BC是平面ACD的斜线，BO2平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影，CO2AD(三垂线定理的逆定理)同理，AO2CD.O2是ACD的垂心