1、1进一步理解定积分的概念和性质2能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积1利用定积分求平面图形的面积(重点)2准确认识平面图形的面积与定积分的关系(易混点)3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积【课标要求】【核心扫描】自学导引1用定积分求平面图形的面积一般地，设由曲线 yf(x)，yg(x)以及直线 xa，xb所围成的平面图形(如图)的面积为 S，则Sabf(x)g(x)dx.2求不分割型图形面积的一般步骤：如何用定积分求如图所示阴影部分的面积？提示 由直线 xa，xb(ab)及曲线 f(x)，g(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积 Sabf(x)dxabg(x)dx.1求由一
2、条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及x轴所围成名师点睛几种典型的平面图形面积的计算 平面图形的面积S.(1)如图 1，f(x)0，abf(x)dx0，所以 Sabf(x)dx.(2)如图 2，f(x)0，abf(x)dx0，所以 Sabfxdx abf(x)dx.(3)如图 3 当 axc 时，f(x)0，acf(x)dx0；当 cxb 时，f(x)0，cbf(x)dx0，所以 Sacfxdx cbf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx.2由两条曲线 f(x)和 g(x)，直线 xa，xb(ab)所围成平面图形的面积 S.(1)如图 4，当 f(x)g(x)0 时，Sabf(x)g
3、(x)dx.(2)如图 5，当 f(x)0，g(x)0 时，Sabf(x)dxabgxdxabf(x)g(x)dx.思路探索 用定积分求平面图形的面积时，注意x轴下方的平面图形计算定积分时，通过取绝对值为正题型一 由单一函数曲线围成的平面图形的面积【例 1】求由曲线 ysin x 与直线 y2 2x3 所围图形的面积解 法一 如图所示，.(1)准确地画图，并合理分割图形；(2)被积函数与积分上、下限要对应；(3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数法二 由图阴影部分可知，图形由两部分组成，这两部分关于原点对称且面积相等【训练1】求由曲线ysin x与x轴在区间0,2上所围成的图形的面积S
4、.解 如图所示，所求面积的面积S.思路探索 作出直线与曲线的草图，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，求出直线与曲线交点的横坐标，利用定积分求面积题型二 求直线与曲线围成图形的面积【例2】计算由直线yx3，曲线yx26x13所围图形解 作出直线 yx3，曲线 yx26x13 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组yx26x13yx3得直线 yx3 与曲线 yx26x13 的交点坐标为(2,5)和(5,8)因此，所求图形的面积 S25(x3)dx25(x26x13)dx25(x27x10)dx(13x372x210 x)|5292.解决这类问题需结合函数图像，把所求的曲边图形面积
5、用函数的定积分表示，关键有两点：(1)确定积分上、下限；(2)确定被积函数这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分是可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的【训练2】计算直线y2x3与曲线yx2所围图形面积解析 画出图像，如图解方程组y2x3，yx2，得A(1,1)，B(3,9)故所求图形的面积为-13(2x3x2)dx(x23x13x3)|31323.审题指导 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解题型三 由两条曲线和直线所围成图形面积【例3】(12分)求由曲线y x，y2x，y1
6、3x所围成图形的面积【解题流程】作图 求出两曲线的交点坐标确定积分区间 确定被积函数 定积分的性质 分解 求值规范解答 法一 画出草图，如图所示解方程组y x，xy2.y x，y13x，及xy2，y13x.得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)(4分)所以S01 x13x dx13(2x)13x dx(6分)01(x13x)dx13(2x13x)dx23x3216x2102x12x216x231(8 分)23162x13x231(10 分)566139213136.(12 分)法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.(4 分)因为它们的交点分别为(1,1)，(
7、0,0)，(3，1)(6 分)所以 S10(2y)(3y)dy01(2y)y2dy10(22y)dy01(2yy2)dy(8 分)(2yy2)|012y12y213y310(10 分)(21)21213136.(12 分)【题后反思】由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下【训练3】求由曲线yex，yex及x1所围成的图形面积解 如图，由yex，yex，解得交点为(0,1)所求面积为 S01(exex)dx(exex)10 e1e2.误区
8、警示 对定积分的几何意义理解有误而致错【示例】如图，函数 yf(x)在区间a，b上，则阴影部分的面积 S 为()A.abf(x)dxB.acf(x)dxcbf(x)dxCacf(x)dxcbf(x)dxDacf(x)dxcbf(x)dx错解 A，B，C.在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为：x轴上方的定积分减去x轴下方的定积分正解 如图所示，在a，c上 f(x)0；在c，b上，f(x)0，所以函数 yf(x)在区间a，b上的阴影部分的面积Sacf(x)dxcbf(x)dx，故选 D.我们知道，当函数 f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形的面积在一般情况下，定积分abf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴，函数 f(x)的图像以及直线 xa，xb 之间各部分面积的代数和