1、吉林省白山市抚松县第一中学2021-2022学年新高二数学过渡充电训练题一一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知平面向量与的夹角为30，且（1，），为单位向量，则|+|（）A1BCD2.已知复数za+bi（a，bR），若z（2+i）5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（）A1BC2D24.在ABC中，若ABC的面积S（a2+b2c2），则C（）ABCD5.如图，RtAOAB是OAB的斜二测直观图，其中OBBA，斜边OA2，则OAB的面积是（）AB1CD26.
2、若、是空间中三个不同的平面，l，m，n，则lm是nm的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7.若存在单位向量，满足|+k|1，|+|k，则k的值为（）A1B2或1C0D1或08.设复数z满足i，则下列说法正确的是（）Az为纯虚数Bz的虚部为CD|z|9.在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEFBB1BEFBDCEF与CD为异面直线DEF与A1C1为异面直线10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1
3、C1D1内一点，若AP平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A，B，C，D，11.某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）ABCD12.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c10，ABC的面积为，则a（）AB5C8D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设O为ABC内一点，且满足关系式，则SBOC：SAOB：SCOA14.计算：所得的结果为15.已知一个圆锥的底面面积为3，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E为BC中点，点F为A1B1中点，若平面
4、过点F且与平面AEC1平行，则平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知向量（1）求；（2）若，求实数m，n的值；（3）若，求实数k的值18.（本小题12分）已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围19.（本小题12分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，CD2AB2，AC交BD于点F，且PAD与ACD均为正三角形，G为PAD的重心（1）求证：GF平面PAB；（2）
5、求三棱锥GPAB的体积20.（本小题12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（1）若cosA，求cosB；（2）若b5，且cosA，求a21.（本小题12分）已知在直角三角形ABC中，ACBC，（如图所示）（）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积（）一只蚂蚁在问题（）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离22.（本小题12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA2c+a0（1）求角B；（2）若，ABC为锐角三角形，求ABC的周长的范围2021-2022
6、学年新高二过渡充电训练题一一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知平面向量与的夹角为30，且（1，），为单位向量，则|+|（）A1BCD【解答】解：由题意得|2，|1，所以|故选：B【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题2.已知复数za+bi（a，bR），若z（2+i）5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：若z（2+i）5i，则z1+2i，所以a1，b2，P （1，2），则P位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知圆锥的表面积为
7、3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（）A1BC2D2【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由题意知l2r，解得l2r，又因为表面积为Sr2+r2r3r23，所以r21，解得r1；所以圆锥的母线长为l2r2故选：C【点评】本题考查了圆锥的结构特征与表面积计算问题，是基础题4.在ABC中，若ABC的面积S（a2+b2c2），则C（）ABCD【解答】解：ABC的面积S（a2+b2c2），整理得，故tanC1，由于0C，故C故选：A【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题5.如图，RtAOAB是OAB的斜
8、二测直观图，其中OBBA，斜边OA2，则OAB的面积是（）AB1CD2【解答】解：依题意知，AOB45，所以三角形OAB为等腰直角三角形，且OA2，所以OBAB，所以RtOAB的面积为SOBAB1，又因为直观图的面积S与原图的面积S的比值为，所以原图形的面积为S2故选：D【点评】本题考查了斜二测画法的直观图面积与原平面图形面积的关系应用问题，是基础题6.若、是空间中三个不同的平面，l，m，n，则lm是nm的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，如图，若lm，则m平面，则有mn，则lm是nm的充分条件，反之：若nm，则m平面，则有lm，则lm是
9、nm的必要条件，故lm是nm的充要条件，故选：C【点评】本题考查线面平行的判断以及性质的应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题7.若存在单位向量，满足|+k|1，|+|k，则k的值为（）A1B2或1C0D1或0【解答】解：，是单位向量，+2k+k21+2k+k21，+2+b22+2k2，得：（k1）1k2，若k1，等式显然成立，若k1，解得：k1，代入得：2+2（k1）k2，解得：k0或2（舍），综上：k0或1，故选：D【点评】本题考查了平面向量的运算，考查单位向量以及向量的模，是基础题8.设复数z满足i，则下列说法正确的是（）Az为纯虚数Bz的虚部为CD|z|【解答】解：因为i，则z+1z
10、i，即，则z的虚部为，故选：D【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数除法的运算法则，复数的定义，共轭复数的定义，复数模的求解，属于基础题9.在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEFBB1BEFBDCEF与CD为异面直线DEF与A1C1为异面直线【解答】解在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，连接AC，B1C，则F是B1C的中点，EF是ACB1的中位线，EFACA1C1，故D错误；BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1A
11、C，EFBB1，故A正确；四边形ABCD是正方形，ACBD，EFAC，EFBD，故B正确；EFAC，EF平面ABCD，AC平面ABCD，EF平面ABCD，CDACC，EF与CD为异面直线，故C正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等数学核心素养，是基础题10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A，B，C，D，【解答】解：如下图所示：分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B
12、1D1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNB1D1，EFB1D1，MNEF，又MN平面BDEF，EF平面BDEF，MN平面BDEF；连接NF，由NFA1B1，NFA1B1，A1B1AB，A1B1AB，可得NFAB，NFAB，则四边形ANFB为平行四边形，则ANFB，而AN平面BDEF，FB平面BDEF，则AN平面BDEF又ANNMN，平面AMN平面BDEF又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP平面BDEF，P点在线段MN上在RtAA1M中，AM，同理，在RtAA1N中，求得AN，则AMN为等腰三角形当P在MN的中点时，AP最小为，当P与M或N重合时，AP最大为线段AP长度的取值范围是，故选
13、：B【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查空间想象能力与运算求解能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属中档题11.某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）ABCD【解答】解：设圆锥的母线长为l，则展开后扇形的弧长为，再设圆锥的底面半径为r，可得2，即l3r，圆锥的高为h，设圆锥外接球的半径为R，则（hR）2+r2R2，解得R圆锥的体积为，圆锥外接球的体积，该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为故选：C【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥及其外接球的体积，考查运算求解能力，是中档题12.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
14、b，c且，b+c10，ABC的面积为，则a（）AB5C8D【解答】解：因为，由正弦定理可得sinAsinAsinBsinBsinBcosA，因为0B，所以sinB0，所以sin2AcosA，可得1cos2AcosA，即（2cosA1）20，解得cosA，所以sinA，因为SABCbcsinA，所以bc25，又b+c10，所以a2b2+c22bccosA（b+c）23bc10032525，所以a5故选：B【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设O为ABC内一点，且满
15、足关系式，则SBOC：SAOB：SCOA3：2：1【解答】解：由题可得+2+33（）+2（ ）+（），则3+2，即（+）+2（+ ），设M，N分别为AB、AC的中点，+2，+2 则2，设SABCS，MN为ABC的中位线，SBOCS，M是AB的中点，SCAMS，又ON：OM1：2，SCOASCAMS，N是AC的中点，SANBS，又ON：OM1：2，SAOBSANBS，故SBOC：SAOB：SCOA3：2：1【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查三角形面积比的求解，考查数形结合思想，属于中档题14.计算：所得的结果为i【解答】解：因为，又，所以：505（i1+i+1）ii故答案为：i【点评】本题
16、考查了复数的求和问题，主要考查了i的乘方运算，解题的关键是利用周期性进行分组求和，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题15.已知一个圆锥的底面面积为3，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于16【解答】解：设圆锥底面圆半径为r，圆锥的底面圆面积为3，可得r23，所以r，母线长为l，圆锥的外接球半径为R，侧面展开图是半圆，22l，l2，圆锥的轴截面为等边三角形，球心为等边三角形的中心，R2，外接球的表面积是4R216故答案为：16【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E为BC中点，点F为
17、A1B1中点，若平面过点F且与平面AEC1平行，则平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为【解答】解：如图所示，取A1D1的中点G，则平面AEC1即为平面AEC1G，过点F作GC1的平行线与B1C1交于点M，则B1M1，过点M作C1E的平行线与BB1交于点N，则B1N2，平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为FMN，且，在FMN中，所以，故FMN的面积为故答案为：【点评】本题考查正方体几何性质的应用，主要考查了正方体中截面的理解，涉及了余弦定理以及同角三角函数关系的应用，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小
18、题10分）已知向量（1）求；（2）若，求实数m，n的值；（3）若，求实数k的值【解答】解：（1）向量6（1，1）+（1，3）2（5，3）（6，6）+（1，3）（10，6）（5，15）（2）（5nm，3m3n）又且，解得（3），3（1+3k）+5（1k）0，即8+4k0，解得k2【点评】本题考查平面向量的坐标运算法则、向量相等、向量平行的等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.（本小题12分）已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围【解答】解：（1）复数z是纯虚数，则且m22m150m3，（2）z对应复平面上的点在第四象
19、限，则且m22m1503m5，所以m的取值范围为（3，5）【点评】本题主要考查了复数的定义及复数的几何意义，属于基础题19.（本小题12分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，CD2AB2，AC交BD于点F，且PAD与ACD均为正三角形，G为PAD的重心（1）求证：GF平面PAB；（2）求三棱锥GPAB的体积【解答】（1）证明：因为PAD与ACD均为正三角形，连接DG并延长交PA于点E，连接BE，底面ABCD为梯形，ABCD，CD2AB，所以ABFCDF，则，而G为PAD的重心，所有，所以，则GFEB，而GF平面PAB，EB平面PAB，所以GF平面P
20、AB；（2）解：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，在PAD中，连接PG并延长交AD于点M，PMAD，所以PM面ABCD，则VGPABVPABMVGABM，因为CD，AB，ACD为正三角形，则AD，所以PM3，PG2，GM1，而DACACD60CAB，则EAB120，所以SMABAMABsin120，所以VGPAB【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及几何体的体积的计算，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题20.（本小题12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（1）若cosA，求cosB；（2）若b5，且cosA，求a【解答】解
21、：（1）因为，所以，由正弦定理可得，可得sinBcosBsinCcosC，可得sin2Bsin2C，因为B，C，可得BC，或2B+2C，即B+C，因为cosA，所以A，则BC，且B，则cos（2B），则2cos2B1，可得cosB，因为B为锐角，可得cosB（2）因为cosA0，所以BC，则bc5，所以由余弦定理可得a2b2+c22bccosA5050，可得a【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21.（本小题12分）已知在直角三角形ABC中，ACBC，（如图所示）（）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，
22、试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积（）一只蚂蚁在问题（）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离【解答】解：（）在直角三角形ABC中，由即，得，若以AC为轴旋转一周，形成的几何体为以BC2为半径，高的圆锥，则，其表面积为（）由问题（）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如右图）最短距离就是点B到点B1的距离，在ABB1中，由余弦定理得：【点评】本题考查旋转体的简单性质，圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，是基本知识的考查22.（本小题12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA2c+a
23、0（1）求角B；（2）若，ABC为锐角三角形，求ABC的周长的范围【解答】解：（1）由正弦定理知，2bcosA2c+a0，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinAsinAcosB，sinA0，即（2）由正弦定理得，2，a2sinA，c2sinC，a+c2（sinA+sinC）2sin（C）+sinC2（cosC+sinC+sinC）2（sinC+cosC），ABC为锐角三角形，解得，C+，sin（C+）（，1，a+c（3，2，故ABC的周长a+b+c的范围为【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、两角和差的正弦公式、辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题