1、第二章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为()AB C(1,0) D(0,1)解析：抛物线过点(1,4)，42a，a2，抛物线方程为x2y，焦点坐标为.答案：A2已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin和cos，虚半轴长分别是cos和sin，则半焦距c都等于1，故选D.答案：D3中心在原点，焦点在
2、x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. B.C. D.解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e.答案：D4若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1 B.1 C.1或1 D.1解析：2c6，c3，2a2b18，a2b2c2，椭圆方程为1或1.答案：C5已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A1 B0 C2 D解析：设点P(x0，y0)，则x1，由题意得A1(1,0)，F2(2,0)，
3、则(1x0，y0)(2x0，y0)xx02y，由双曲线方程得y3(x1)，故4xx05(x01)，可得当x01时，有最小值2，故选C.答案：C6已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0x，又F(0,1)，代入y0x得2y1(2x)2，化简得x22y1，故选A.答案：A7抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1
4、,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.答案：B8直线yxb与抛物线x22y交于A、B两点，O为坐标原点，且OAOB，则b()A2 B2C1 D1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y，得x22x2b0，所以x1x22，x1x22b，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2b2，又OAOB，x1x2y1y20，即b22b0，解得b0(舍)或b2.答案：A9已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：因为双曲线1(a0，b0)
5、的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即a2b236，又双曲线的一条渐近线方程是yx，所以，解得a29，b227，所以双曲线的方程为1，故选B.答案：B10若动圆圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)解析：抛物线y28x上的点到准线x20的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)答案：B11设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2 C.或2 D.或解析：设圆锥曲线的离心率
6、为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e.综上，所求的离心率为或.故选A.答案：A12已知椭圆C；1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，
7、a24b220.椭圆C的方程为1.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|F1F2|，则PF1F2的面积等于_解析：由1知，a5，b4，c3，即F1(3,0)，F2(3,0)，|PF2|F1F2|6.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|10，|PF1|1064，于是SPF1F2|PF1|h48.答案：814抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y
8、23的交点为A，B，所以|AB|2.由ABF为等边三角形，得|AB|p，解得p6.答案：615设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，F2的坐标为(c,0)，P点坐标为，由题意知|PF2|F1F2|，所以2c，a2c22ac，2210，解得1，负值舍去答案：116已知双曲线C：1，给出以下4个命题，真命题的序号是_直线yx1与双曲线有两个交点；双曲线C与1有相同的渐近线；双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.解析：错误，因为直线yx1与渐近线yx平行，与双曲线只有一个交点；正确，渐近
9、线方程为yx；正确，右焦点为(，0)到渐近线yx的距离为3.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程解析：由椭圆方程为1，知长半轴长a13，短半轴长b12，焦距的一半c1，焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.18(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l：y1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知直线
10、l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x24y，当直线AB斜率为0时|PQ|4.当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x4y1，x4y2，两式作差得xx4(y1y2)，即得k，则直线方程为y2(xt)，与x24y联立得x22tx2t280.由根与系数的关系得x1x22t，x1x22t28，|PQ|6，即|PQ|的最大值为6.19(本小
11、题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，12，求双曲线的标准方程解析：如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)e2，c2a.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2ac，在PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos60)，即4c2c2|PF1|PF2|.又SPF1F212，|PF1|PF2|sin6012，即|PF1|PF2|48.由，得c216，c4，则a2，b2c2a212，所求的双曲线方程为1.20(本小题满分
12、12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线ykx2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值解析：(1)由题意设抛物线方程为y22px，p0其准线方程为x，A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，46，p4，此抛物线的方程为y28x.(2)由消去y得k2x2(4k8)x40，直线ykx2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，解得k1且k0，由x1x24解得k2或k1(舍去)所求k的值为2.21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，
13、2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求CDF2的面积解析：(1)由题意知b1，且c2a2b2，解得a，c1.易得椭圆方程为y21.(2)F1(1,0)，直线BF1的方程为y2x2，由得9x216x60.162496400，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则|CD|x1x2|，又点F2到直线BF1的距离d，故|CD|d.22(本小题满分12分)过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
14、(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值解析：(1)由已知得b1，解得a2，c，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0，解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点的坐标为.故|CD|.(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k)，代入椭圆方程化简得(4k21)x28kx0，解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y(x2)，联立解得，因此Q点坐标为(4k,2k1)又P点坐标为，所以(4k,2k1)4.故为定值