1、2.1.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)两个焦点的坐标是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点().解析：(1)椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为=1(ab0).2a=10,2c=8,a=5,c=4.b2=a2-c2=52-42=9.所求椭圆的标准方程为=1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为=1(ab0).由椭圆的定义知，2a=a=.又c=2,b2=a2-c2=10-4=6.所求椭圆的标准方程为=1.温馨提示求椭圆的标准方
2、程就是求a2及b2(ab0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为=1;当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为=1.二、应用椭圆的定义解题【例2】 一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切与圆O2：(x-3)2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析：两定圆的圆心、半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x,y)，半径为R由题设条件知：MO1=1+R，MO2=9-RMO1+MO2=10由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为=1温馨提示两圆相切
3、时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为(0，2)，则k=_.解析：将椭圆方程化为标准方程可得x2+=1，由一个焦点为(0，2)知，a2=,b2=1且a2-b2=c2,即-1=4得k=1温馨提示将椭圆方程化为标准形式可得x2+=1,由其中一个焦点为(0，2)可确定a2-b2，通过a,b,c之间的关系确定k的值.各个击破类题演练1求经过两点P1(),P2(0,-)的椭圆的标准方程解法一：因为焦点位置不确定，故可考虑两种情形.(1)焦点在x轴上时：设椭圆的方程为=1(ab0).依题意知,方程组无解.(
4、2)焦点在y轴上时：设椭圆的方程为=1(ab0).依题意可得所求椭圆的标准方程为解法二：设所求椭圆方程的一般式为Ax2+By2=1(A0,B0).依题意可得所求椭圆的方程为5x2+4y2=1.标准方程为变式提升1椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求此椭圆的标准方程.解析：由题意知：b2=9所求椭圆的标准方程为类题演练2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1，0)，A(1，0)的距离之和为定值m，试求P点的轨迹方程.解析：PA+PA=m,AA=2,PA+PAAA,m2.(1)当m=2时，P点的轨迹就是线段AA.其方程为y=0(-1x1).(2)当m2时，由椭圆
5、的定义知，点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆.2c=2,2a=m,a=,c=1,b2=a2-c2=-1.点P的轨迹方程为变式提升2已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.解析：如图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10.c=3,a=5,b2=52-32=16.但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，点A的轨迹方程是(y0)类题演练3方程x=所表示的曲线为_.解析：由x=得x2+3y2=1即x2+=1,此方程表示焦点为(，0)，(-，0)的椭圆，然而，由题意必须x0,所以x=表示椭圆在y轴右侧的部分(包括端点)变式提升3椭圆=1(0k9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点答案：B