1、江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一单项选择题： 1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.【详解】全集，集合，则.故选：.【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，意在考查学生的计算能力.2.已知向量，且，则实数m（ ）A. 3B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m的方程,然后解方程求出的值.【详解】解:由,得,因为,所以,所以,所以.故选:.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.3.函数的定义域为（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】B【解析】分析】函数定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，解得.故选：.【点睛】本题考查了具体函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算得到，代入数据计算得到答案.详解】，则.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的平移和计算，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握.5.函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当时，；当时，对比图像得到答案.【详解】当时，；当时，对比图像知满足.故选：.【点睛】本题考查
3、了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.6.已知函数为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，代入计算得到，得到，计算得到答案.【详解】当时，则，即，解得，故.故选：.【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简得到，再利用齐次式计算得到答案.【详解】，解得.故选：.【点睛】本题考查了三角函数化简，齐次式的应用，意在考查学生的计算能力.8.已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】
4、根据对称得到，根据没有最值得到，得到，再根据对称中心得到，得到答案.【详解】函数的图象关于点及直线对称.则.在不存在最值，则，故时满足条件，.，则.当时满足条件，故.故选：.【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.二多项选择题：9.下列个结论中，正确的结论是（ ）A. 对任意角，使得B. 存在角和，使得C. 存在无穷多个角和，使得D. 对任意角和，都有【答案】BC【解析】【分析】根据诱导公式和和差公式依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 对任意角，错误；B. 当时，成立，故正确；C. 当时，任意，成立，故正确；D. 当时，不成立，故错误；故选：.【点
5、睛】本题考查了诱导公式和和差公式，意在考查学生对于三角函数公式的理解.10.关于函数，下述结论正确的是（ ）A. 若是奇函数，则B. 若是偶函数，则也为偶函数C. 若满足，则是区间上的增函数D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数【答案】BD【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；B. 若是偶函数， ，故，也为偶函数，正确；C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数设，则，故单调递增，故正确；故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于
6、函数性质的灵活运用.11.在梯形中，分别是，的中点，与交于，设，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量运算依次计算每个选项判断得到答案.【详解】A. ，正确；B. ，正确；C. ，错误；D. ，正确；故选：.【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.12.设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数在上是单调增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的值域是【答案】ACD【解析】【分析】化简得到，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数的最小正周期为；函数在上
7、先增后减；函数的图象关于直线对称；函数的值域是；故选：.【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，对称和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，画出函数图像是解题的关键.三填空题13.已知，那么 【答案】【解析】试题分析：.考点：齐次式、倍角公式.14.已知函数，则是_函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为_.【答案】 (1). 奇 (2). 【解析】【分析】，计算得到得到答案，化简得到，根据函数单调性得到答案.【详解】函数单调递增，故单调递增；，函数单调递增；，故是奇函数；，即.故，解得.故答案为：奇；.【点睛】本题考查了函数的奇偶性
8、和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，分别是，的中点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，计算直线方程得到坐标，计算向量得到答案.【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.延长与交于点，故为中点.直线，同理可得：直线，直线；解得：，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能
9、力和计算能力，建立坐标系转化为坐标运算是解题的关键.16.已知函数其中，且，若函数有个不同的零点，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出函数图像，排除的情况，根据对称性得到，计算得到答案.【详解】如图所示：当时，函数有个不同的零点，不满足；当时，不妨设，根据对称性知，故.，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.四解答题：17.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算得到，再计算并集得到答案.（2）或，根据计算得到答案.【详解】（1），当时，所以.（2），则或，因为，所以，解得
10、.【点睛】本题考查了并集运算，根据交集运算结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，点，设.（1）若，求的值；（2）若点的纵坐标为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，则，计算，根据计算得到答案.（2）计算得到，利用和差公式将展开计算得到答案.【详解】（1）设，则，.所以，.（2），且，所以，所以，.所以.【点睛】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.19.已知函数，其中为实数.（1）若，求证：函数在上为减函数；（2）若为奇函数，求实数的值.【
11、答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）对于，且，计算得到证明.（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到答案.【详解】（1）当时，对于，且，因为，所以，所以，又因，且，所以，即，所以，.所以函数在上为减函数.（2），若为奇函数，则，即.所以，所以，所以，或.【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，设.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺
12、礼品达到最佳观赏效果； （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为【解析】【分析】（1）设，则在直角中，计算得到，计算最值得到答案.（2）计算，得到，得的最值.【详解】（1）设，则在直角中，.在直角中，.，所以当，即，的最大值为.（2）在直角中，由，可得.在直角中，所以，所以，所以当，达到最大值.【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.21.如图，在中，是的中点，点满足，与交于点.（1）设，求实数的值；（2）设是上一点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析
13、】【分析】（1）设，得到，计算得到答案.（2），代入数据化简得到答案.【详解】（1）设，因为，是的中点，所以.设，故，整理得，又，即，所以.联立，据平面向量其本定理，得解得，所以实数值为.（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.22.已知函数，其中.（1）若，求函数的单调区间；（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）【解析】【分析】（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.（2）化简得到恒成立，计算函
14、数的最大值得到答案.（3）化简得到，确定在和上都各有个不同的零点，计算得到答案.【详解】（1）当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递减.当时，所以在上单调递增.因为函数的图象在上不间断，所以的单调减区间是，单调增区间是.（2）对任意恒成立.因为，所以，故不等式可化为，即，所以问题转化为不等式对任意恒成立.又在上单调递减，所以，所以.（3），其中.显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，至多有个不同的零点，又有个不同的零点，所以在和上都各有个不同的零点，所以且即又，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，根据零点个数求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
