1、第7练抓重点函数性质与分段函数题型分析高考展望函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x1、x2a，b，则(x1x2) f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上递增.(x1x2)f(x1)f(x2)00，则x的取值范围是_.点评(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联
2、系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1(1)(2015天津改编)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_.(2)(2015盐城模拟)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围.题型二函数的周期性与对称性的应用重要公式：1.若对于定义域内的任意x，都有f(ax
3、)f(ax)，则f(x)关于xa对称.2.若对于任意x都有f(xT)f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x1对称，当x1,0)时，f(x)x，则f(2 015)f(2 016)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 016)_.点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)
4、单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.则所有正确命题的序号为_.题型三分段函数例3已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.点评(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先
5、判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3(2014浙江)设函数f(x) 若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_.高考题型精练1.(2015安徽改编)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是_.yln x; yx21；ysin x; ycos x.2.(2015陕西改编)设f(x)则f(f(2)_.3.(2014山东改编)函数f(x)的定义域为_.4.(2014江西改编)已知函数f(x)(aR)，若ff(1)1，则a_.5.下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是_.f(x)x; f(x)x3；f(x)ln x; f(
6、x)2x.6.函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，当x(，0)时，f(x)xf(x)0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_.12.已知函数yf(x)，xR，有下列4个命题：若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称.其中正确命题的序号为_.答案精析第7练抓重点函数性质与分段函数常考题型典例剖析例1(1)，(2)(1,3)解析(1)因为当x0时，
7、f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2x0，得2x12，即1x3.变式训练1(1)cab解析由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23，log25|log23|0，bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0).(2)解f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m0时，x0时，f(x)x22x(x1)21，当x1，)时，f(x)单调递减；当x(0,1时，f(x)单调递增
8、.当x0时，f(x)x22x(x1)21，当x(，1时，f(x)单调递减；当x1,0)时，f(x)单调递增.综上知：函数f(x)在1,1上单调递增.又函数f(x)在区间1，a2上单调递增.解得12或0x.4.解析由题意得f(1)2(1)2，ff(1)f(2)a224a1，a.5.解析“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)ac解析因为函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以yf(x)关于y轴对称.所以函数yxf(x)为奇函数.因为xf(x)f(x)xf(x)，所以当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，函数yxf(x)单调递减，从而当x(0，)时，函数yx
9、f(x)单调递减.因为120.22,0ln 21， 2，从而0ln 220.2ac.7.，0(2，)解析由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)当x2；当x2时，f(x)8.当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，).当1x2时，f(x)0.当x1,2时，函数的值域为，0.综上可知，f(x)的值域为，0(2，).8.(，2(1，)解析f(x)即f(x)f(x)的图象如图所示，由图象可知实数c的取值范围是(，2.9.解析f(x)是以4为周期的奇函数，fff，fff.当0x1时，f(x)x(1x)，f.当1x2时，f(x)sin x，fsin .又f(x)
10、是奇函数，ff，ff.ff.10.1解析依题意，得h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时取得最大值h(2)1.11.解析根据x表示的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.12.解析1，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，令tx2，则问题等价于yf(t)与yf(t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t0对称，即函数yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x20即x2对称，故正确；由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，只能得到函数的周期为4，即只能推得函数yf(x)的图象关于直线x4k(kZ)对称，不能推得函数yf(x)的图象关于直线x2对称，故错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确.