1、第10练重应用函数的实际应用题型分析高考展望函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.常考题型精析题型一基本函数模型的应用例1(1)(2014北京改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以
2、得到最佳加工时间为_分钟.(2)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？点评解决实际应用问题关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉
3、及的数学模型，一般程序如下：.变式训练1(1)(2015北京改编)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为_升.(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价以按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以使每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是_.题型二分段函数模型的应用例220
4、15年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题
5、，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q0.125(t8)212，t0,16，tN，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值
6、是多少？(注：每件销售利润售价进价)高考题型精练1.(2015北京改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是_.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.2.(2014湖南改编)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_.3.(2015泰州模拟)假如某商品靠广告销售的
7、收入R与广告费A之间满足关系Ra，广告效应为DaA，则当广告费A_时，广告效应D最大.4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到_只.5.如果在若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约需要经过_年(lg 20.301 0，lg 1.090.037 4).6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单元：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为
8、销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_万元.7.(2014福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年.9.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y
9、aebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.10.(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.11.为了保护学生的视力，课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0课
10、桌高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？12.某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创纯收益0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140a280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：
11、在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)答案精析第10练重应用函数的实际应用常考题型典例剖析例1(1)3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)解当x200,300时，设该项目获利为S，则S200xx2400x80 000(x400)2，所以当x200,300时，S0，因此该单位不会获利.当x300时，S取得最大值5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能
12、使该项目不亏损.由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为()当x120,144)时，x280x5 040(x120)2240，所以当x120时，取得最小值240.()当x144,500时，x2002 200200，当且仅当x，即x400时，取得最小值200.因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.变式训练1(1)8(2)yx (xN*)解析(1)由表知：汽车行驶路程为35 60035 000600千米，耗油量为48升，每100千米平均耗油量8升.(2)设每台新价为b，则售价b(125%)，让利b25%，由于原价为a，则进价为a(120%)，根据题意，得每件家
13、电利润为b(125%)20%b(125%)a(120%)，化简得ba.yb25%xa25%xx (xN*)，即yx(xN*).例2解(1)由题意，得当药剂质量m4时，y当04时，4，解得4x16.综上0x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由ymf(x)得当0x4时，y2m在区间(0,4上单调递增，即2m4时，y0，所以函数在区间(4,7上单调递减，即y0).因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin80204160(元).8.7解析设第n(nN*)年的年产量为an，则a11233；当n2时，anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2.又a
14、13也符合an3n2，所以an3n2(nN*).令an150，即3n2150，解得5n5，所以1n7，nN*，故最长的生产期限为7年.9.16解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.10.24解析由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.11.解(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系为ykxb.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得y与x的函数关系式是y1.6x11.(2)把x42代入上述函数关系式中，有y1.6421178.2.给出的这套课桌椅是配套的.12.解(1)由题意可知，y(ax)(10.01x)0.4xx2xa.axa，xa，即x的取值范围是中的自然数.(2)y22a，且140a280，当a为偶数时，x70，y取最大值.当a为奇数时，x70，y取最大值(尽可能少裁人，舍去x70).当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.