1、2.1.1离散型随机变量A组1.给出下列四个命题:在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;黄河每年的最大流量是随机变量;某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:是正确的,中方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的,不是随机变量.答案:C2.一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出三个小球,下列变量是离散型随机变量的是()A.小球滚出的最大距离B.倒出小球所需的时间C.倒出的三个小球的质量之和D.倒出的三个小球的颜色的种数解
2、析:对于A,小球滚出的最大距离不是随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,三个小球的质量之和是一个定值,可以预见,结果只有一种,不是随机变量;对于D,倒出的三个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.答案:D3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是()A.5B.9C.10D.25解析:X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.答案:B4.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次
3、试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值可能为()A.5B.2C.3D.4解析:由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙,但锁此时未打开,故试验次数为4.答案:D5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为()A.0X5,XNB.-5X0,XZC.1X6,XND.-5X5,XZ解析:设x表示第一枚骰子掷出的点数,y表示第二枚骰子掷出的点数,X=(x-y)Z.|x-y|1-6|,即-5X5.答案:D6.已知一批产品共12件,其中有3件次品,每次从中任取一件,在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是.解析:可能
4、第一次就取得合格品,也可能取完次品后才取得合格品.答案:0,1,2,37.某射手射击一次所击中的环数为X,则X7表示的试验结果是.解析:射击一次所击中的环数X的所有可能取值为0,1,2,10,故X7表示的试验结果为“该射手射击一次所击中的环数为8环或9环或10环”.答案:射击一次所击中的环数为8环或9环或10环8.某篮球运动员在罚球时,罚中1球得2分,罚不中得0分,该队员在5次罚球中命中的次数X是一个随机变量.(1)写出X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果;(2)若记该队员在5次罚球后的得分为Y,写出所有Y的取值及每一个取值所表示的试验结果.解:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,
5、4,5.表示在5次罚球中分别罚中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)Y的所有可能取值为0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.9.王刚同学将平时积攒的零钱兑换后有100元,50元, 20元,10元各一张,他决定随机抽出两张用来捐款,用X表示抽出两张人民币面值的和,写出X的所有可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.解:X的所有可能取值为30,60,70,110,120,150.X=30表示“抽到10元和20元”;X=60表示“抽到10元和50元”;X=70表示“抽到20元和50元”;X=110表示“抽到10元和100元”;X=120表示“抽到
6、20元和100元”;X=150表示“抽到50元和100元”.B组1.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为()A.1,2,3,6B.1,2,3,7C.0,1,2,5D.1,2,5解析:由于取到白球游戏结束,那么取球次数可以是1,2,3,7.答案:B2.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是()A.6B.7C.10D.25解析:X的所有可能取值有12,13,14, 15,23,24,25,34,
7、35,45,共10个.答案:C3.某用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字,只记得最后三个数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后三个数字,设他拨到所要号码的次数为X,则随机变量X的可能取值共有个.解析:后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有=24(个).答案:244.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有种.解析:X=8表示“3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个编号中选2个”,有种选法,即X=8表示的试验结果有21种.答案:215.一个袋中装有大小相同的5个白球和5
8、个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.解:(1)X0123结果取得3个黑球取得1个白球,2个黑球取得2个白球,1个黑球取得3个白球(2)由题意可得Y=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,Y对应的取值为50+6,51+6,52+6,53+6,即Y的可能取值为6,11,16,21,显然Y为离散型随机变量.6.写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)在10件产品中有
9、2件是次品,8件是正品,任取3件,取到正品的个数X;(2)在10件产品中有2件次品,8件正品,每次取一件,取后不放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数X;(3)在10件产品中有2件次品,8件正品,每次取一件,取后放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数X.解:(1)X=1,2,3,X=k(k=1,2,3)表示“取到k个正品”.(2)X=2,3,4,10,X=k(k=2,3,10)表示“取了k次,第k次取得次品,前k-1次只取得一件次品”.(3)X=2,3,4,X=k(k=2,3,4,)表示“取了k次,前k-1次取得一件次品,第k次取得次品”.7.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需
10、回答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目,测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目做答.某选手抽到科技类题目的道数X.(1)试求出随机变量X的可能取值;(2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果?解:(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.(2)X=1)表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”.从三类题目中各抽取一道有=180种不同的结果.抽取1道科技类题目,2道文史类题目有=180种不同的结果.抽取1道科技类题目,2道体育类题目,有=18种不同的结果.由分类加法计数原理知可能出现180+180+18=378种不同的结果.