1、第31练与抛物线有关的热点问题题型分析高考展望抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上常考题型精析题型一抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一动点，(1)求点P到A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|PF|的最小值解(1)由于A(1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则|AP|PF|AF|，从而知点P到A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最
2、小值为，所以点P到A(1,1)的距离与P到直线x1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径变式训练1已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1 B2C4 D8答案A解析由题意知抛物线的准线为x.因为
3、|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.题型二抛物线的标准方程及几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解由题意，得抛物线方程为x22ay (a0)设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，2)N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再
4、进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程变式训练2(2015福建)如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解方法一(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线
5、E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切方法二(1)同方法一(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)
6、，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切题型三直线和抛物线的位置关系例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处
7、的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|A
8、B|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解变式训练3已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，)(2)|RF|y
9、R，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形高考题型精练1(2014辽宁)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A
10、. B.C. D.答案D解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.2(2015浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.答案A解析由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F
11、，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A2 B2C.1 D.1答案A解析依题意得F，设P，Q(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物
12、线的定义得|PF|2，由此解得p2，故选A.4(2014课标全国)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.5已知抛物线y28x的准线为l，点Q在圆C：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点
13、P到直线l的距离为d，则d|PQ|的最小值等于()A3 B2 C4 D5答案A解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d|PF|.圆C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为C(1,4)，半径r2.d|PQ|PF|PQ|，显然，|PF|PQ|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|r2523.6已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2答案A解析若焦点弦ABx轴，则
14、x1x2，则x1x2；若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.则y1y2p2.故4.7(2014湖南)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.答案1解析正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，C(，a)，F(b，b)又点C，F在抛物线y22px(p0)上，解得1.8已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM，则p_.答案2解析如图，由AB的斜率为，知60，又AM，M为AB的中点过点B作BP垂
15、直准线l于点P，则ABP60，BAP30.M为焦点，即1，p2.9过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.答案解析2，|AB|AF|BF|，|AF|0，再由y10，y20，则0，故1k0.又线段ST的中点坐标为，所以线段ST的垂直平分线方程为y.令y0，得Q点的横坐标为xQ20)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C
16、2的面积分别为S1与S2，求的值(1)证明设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12(2015湖南)已知抛物线C1 ：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解(1)由
17、C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4，将，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.