1、山东省莱州一中第三次质量检测数学试题一单选题：（40分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解出两个集合中的不等式的解集，求出在实数集中的补集与的交集即可得解.【详解】由题：，故选：D【点睛】此题考查求指数不等式和对数不等式的解集，再进行集合的补集运算和交集运算，考查对基础知识和细节的掌握，属于简单题目.2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，故必要不充分条件，故选B考点：1对数的性质；2充分必要条件3.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】C【解析】【分析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】，由.故选：C【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.4.函数与的图象如图所示，则的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数与的图象可知两个函数的性质，可知的定义域和奇偶性，以及函数在时，的正负，从而得到答案.【详解】由图象可知的图象关于轴对称，是偶函数，的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域，的定义域是，并且是奇函数，排除B，又时，排除C,D.满足条件的只有A.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型.5.函数是上的奇函
3、数，当时，则当时，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，得出，可得出的表达式，再利用函数为奇函数，得出，可得出结果.【详解】时，.当时，由于函数是奇函数，因此，当时，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出的表达式，再利用奇偶性得出的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.6.函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令,分别画出与的图象,根据只有两个交点找到的范围【详解】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件
4、,故故选：A【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想7.已知是偶函数，在上单调递减，则的解集是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.8.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递减区间
5、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的方法进行求导，然后求出单调递减区间即可.【详解】，于是有：，当时，有.故选：C【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了数学阅读能力，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.二多选题：（20分）9.下列命题中的真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数函数的值域，全称命题的含义，对数运算，正切函数值域，即可得答案；【详解】对A， ，根据指数函数值域知正确； 对B， ，取，计算知，错误；对C， ，取，计算，故正确； 对D， 的值域为，故正确；故选：ACD.【点睛】本题考查全称命题与特称
6、命题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意知识交会的运用.10.下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.11.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）A.
7、函数是周期函数B. 函数的图象关于点对称C. 函数为上偶函数D. 函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】【分析】利用可以判断函数的周期性，利用为奇函数可以判断函数的对称性和奇偶性，最后选出正确答案.【详解】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.12.已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A. B. C. D
8、. 【答案】AD【解析】【分析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B; ,可判断C，D.【详解】函数,是函数的极值点，即，,当时，,即A选项正确,B选项不正确;,即D正确,C不正确.故答案为:AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.三、填空题13.设函数的定义域为A，的定义域为B，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出，再根据求出a的取值范围.【详解】由，可得，由，可得或所以，或，或故答案为【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知直线是
9、曲线的一条切线，则_.【答案】4【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义可求斜率，即可求出，代入切线方程即可求解.【详解】设，切点为，因为，所以，解得，所以，故切点为，又切点在切线上，故.故答案为：4【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.15.若是方程的两个实根，则 的值为_【答案】12【解析】【分析】原方程可化为，设，则原方程可化为，利用换元法令，再根据对数的运算法则，即可得答案；【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为设方程的两根为，则，由已知a，b是原方程的两个根可令，则， 故答案为：.【点睛】本题考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化
10、与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16.已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为_；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，由此求得的最大值.（2）对因式分解，将此方程有三个不同实数解，转化为，的解的个数来求解的取值范围.【详解】（1）的定义域为，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值.（2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为.当时，当时，当时，.由，即.由上述分析可知有一个解.故需有两个不同解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：（1）；（2）.【点
11、睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值，考查利用导数研究方程的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.四、解答题：（70分）17.已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，（1）若，求a的取值范围；（2）若是q的充分不必要条件，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）分别求函数的定义域和不等式的解集，从而确定集合A,B，由，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的取值范围.详解：（1）由题意得若，则必须满足，解得a的取值范围为（2）易得是q的
12、充分不必要条件，是的真子集，则，解得，a的取值范围是点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.18.如图所示函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成（1）求的解析式；（2）比较与的大小；（3）已知，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）将分别代入，求得，所以；（2）因为，所以，即；（3）由题意，根据定义域和单调性，有解得.试题解析：（1）由题意得解得（2）因为，所以，即（3）由题意，所以解得，所以的取值范围是考点：函数的单调性.
13、19.已知函数.(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；(2)当函数在区间1，1上的最小值为3时，求实数a的值【答案】(1)f(x)x22x3.(2)a7或a7.【解析】【分析】(1)对任意实数都有成立，可得的对称轴为x1，即可得出a.(2)由题意可得的对称轴为，分别讨论，综合结论，即可得到a的值.【详解】(1)f(1t)f(1t)，函数f(x)图象的对称轴为x1，解得a2.函数的解析式为f(x)x22x3.(2)由题意得函数f(x)x2ax3图象的对称轴为.当，即a2时，f(x)在1，1上单调递减，f(x)minf（1）1a3a43，解得a7，符合题意；当，即2a2时，由题意得解得a22
14、4，或，又2a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.22.已知函数，（1）求的极值；（2）若时，与的单调性相同，求的取值范围；（3）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：.【答案】(1) 极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析【解析】【分析】（1）通过导函数
15、大于零和小于零的解得函数单调区间，求出极值；（2）由（1）知，在单调递增，则在恒成立，转化成不等式恒成立求参数范围；（3）时，有最小值，则的最小值是这个区间上的极小值，隐含着的根，结合根的存在性定理确定的范围，利用隐零点关系转化，即可求证.【详解】解：（1）的定义域为，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.所以有极小值，无极大值.（2）由（1）知，在单调递增.则在单调递增，即在恒成立，即在恒成立，令，；，所以当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减，又时，所以，.（3），在单调递增，又，存在唯一的，使得，即，即，当时，单调递减，当时，单调递增，令，则恒成立，则在上单调递减，即即，.【点睛】此题考查导函数与函数的单调性，涉及等价转化，转化与化归思想，第三问考查隐零点问题，注意整理出隐零点问题的常规解法，确定导函数的零点所在区间，利用等量关系对最值进行等价代换，利于求出最值的范围.