1、第四章 定积分 1 定积分的概念 1.1 定积分的背景面积和路程问题 我们学过如何求正方形、长方形、三角形和梯形等平面图形的面积；这些图形都是由直线围成的。那么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢？本章我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。当然定积分还可以解决变速度的路程问题，变力作功问题。它也是我们解决实际问题的有力的工具。这节课我们学习定积分的背景-面积和路程问题引入xoy图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，)(xfy ab曲边梯形定义：我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形。那么如何求曲边梯形面积呢
2、？探究点1：定积分的几何背景 曲边图形的面积问题 我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。我们用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”)求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？圆也是由曲线围成的平面图形，它的面积怎样求昵？y=f(x)baxyOA A1+A2+An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为 A1AiAn 以直代曲,无限逼近
3、 将区间a，b平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；（2）近似代替；（3）逼近。问题1 图中阴影部分是由抛物线 ，直线 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S.2xy 1xxoy12xy 2xy 1x2xy 2xy 1x2xy xoy1分析 首先，将区间0，15等分，如图所示.1S图(1
4、)中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有 44.02.0)18.06.04.02.0(222221S（1）xoy1图(2)中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有 1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221s.（2）xoy1思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2.（3）xoy1(4)为了减小误差，我们将区间0，1
5、 10等分，则所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为 二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积.有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积S 的近似值。（4）取极限 n oxy抽象概括我们通过“以直代曲”和“逼近思想”方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间过剩
6、估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度趋于 0估计值趋于所求值3xy xyo1动手做一做 求曲线y=与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，1 5等分来估计）3x解析：把区间 0，1 5等分，以每一个小区间 左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足 估计值 和过剩估计值 ，如下：1s1S1s36.02.0)18.06.04.02.0(16.02.0)8.06.04.02.00(33333333331S1S1s估计误差不会超过 -=0.2 探究点2 定积分的物理背景 -估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s
7、=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v（单位：m/s)是时间 t 的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s.)50(2510)(2ttttv分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似
8、替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽 车在5 s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车 在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速 度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs1s不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：)(2511mss1s不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：1s为了得到更加精
9、确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：)(125.485.0)5.4()4()1()5.0()0(2mvvvvvs结论：滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：2s无论用s2还是
10、表示汽车的滑行距离s，误差都不超过 2s抽象概括前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求路程所分区间长度趋于 0估计值趋于所求值1.在“近似替代”中，函数f(x)在区间xi,xi+1上的近似值等于（）A.只能是区间的左端点的函数值f(xi)B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1)C.可以是区间内的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）D.以上答案均正确 解析 以直代曲，可以把区间xi,xi+1上的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）作为小矩形的高.C 2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估
11、计在时间区 间0,6内，将时间区间10等分时，物体下落的 距离的估计值可以为（）A.14g B.15g C.16g D.17g 解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在16.2g,19.8g之间.D 3.求曲线 与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面 图形的面积时，把区间5等分，其估计误差不超过 _.解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得 此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如 下：所以S-s=0.3.222222111s(11.21.8)0.21.02222111S(1.21.42)0.21.32222，0.3 21yx21.曲边梯形的定义：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求值2.求面积和路程问题的步骤：我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲 线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.本节课讲了几个问题？