1、2015-2016学年广东省珠海四中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请将所选答案标号填入答题卡1已知等差数列an的公差为2，且a9=22，则a1的值是（）A3B3C6D62在等比数列an中，a1=3，a3=12，则a5=（）A48B48C48D363命题P：“xR，x20”，则（）AP是假命题；P：xR，x20BP是假命题；P：xR，x20CP是真命题；P：xR，x20DP是真命题；P：xR，x204设命题p：x2+2x30 q：5x1，则命题p成立是命题q成立的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要5在ABC中，则A等
2、于（）A30B45C60D1206设a0，b0若的最小值为（）A3BC2+D3+7椭圆的离心率为，并且经过点（2，0），此椭圆的标准方程可能是（）A +=1B +y2=1C=1Dy2=18函数的定义域是（）Ax|x4或x3Bx|4x3Cx|x4或x3Dx|4x39若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF2=90，则F1PF2的面积是（）A2B1CD104设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A=1B=1C=1D=111下列说法正确的是（）A“x=1”是“x25x6=0”的必要不充
3、分条件B命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR 均有x2+x+10”C设集合m=x|0x3，N=x|0x2，那么“aM”是“aN”的必要而不充分条件D命题“若sin=sin，则=”的逆否命题为真命题12双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应题号的横线上.13等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=50，则lga5=14若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为15已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的
4、距离为1，则双曲线方程为16已知，则z=2x+4y的最大值为17双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=18动点P与平面上两定点A（，0），B（，0）连线的斜率的积为定值，则动点P的轨迹方程为三、解答题：（本题共5小题，共60分）19在ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2a2=bc（）求角A的大小；（）若b=1，且ABC的面积为，求c20已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围21在直角坐标系xOy中，已知A（3，0
5、），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由22数列an的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an0，4Sn=（an+1）2（）求a1的值；（）求证：数列an是等差数列，并求通项公式（）设bn=，求和Tn=b1+b2+bn23已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ABC面积的最大值2
6、015-2016学年广东省珠海四中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请将所选答案标号填入答题卡1已知等差数列an的公差为2，且a9=22，则a1的值是（）A3B3C6D6【考点】等差数列的通项公式【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：等差数列an的公差为2，且a9=22，22=a1+28，解得a1=6故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题2在等比数列an中，a1=3，a3=12，则a5=（）A48B48C48D36【考点】等比数列
7、的通项公式；集合的含义【专题】计算题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的性质即可得到结论【解答】解：在等比数列中，a1a5=a32，a1=3，a3=12，a5=48，故选：A【点评】本题主要考查等比数列的项的计算，根据等比数列的性质是解决本题的关键3命题P：“xR，x20”，则（）AP是假命题；P：xR，x20BP是假命题；P：xR，x20CP是真命题；P：xR，x20DP是真命题；P：xR，x20【考点】特称命题；全称命题【专题】应用题【分析】由020不成立可判断p为假命题，根据全称命题的否是为特称命题可求【解答】解：由于020不成立，故“xR，x20”为假命题根据全
8、称命题的否是为特称命题可知，“xR，x20”的否定是“xR，x20”故选B【点评】本题主要考查了命题的真假关系的判断及全称命题与特称命题的否定关系的应用4设命题p：x2+2x30 q：5x1，则命题p成立是命题q成立的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】命题p：x2+2x30，解得3x1即可判断出命题p与q关系【解答】解：命题p：x2+2x30，解得3x1又q：5x1，则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与
9、计算能力，属于中档题5在ABC中，则A等于（）A30B45C60D120【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】利用正弦定理列出关系式，将sinB，a，b的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，a=1，b=，B=120，由正弦定理=，得：sinA=，ab，AB，A=30故选A【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6设a0，b0若的最小值为（）A3BC2+D3+【考点】基本不等式；等比数列的通项公式【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】是3a与3b的等比中项，可得a+b=1利用=（a+b）=3+及其
10、基本不等式的性质即可得出【解答】解：是3a与3b的等比中项，3a3b=3，a+b=1a0，b0=（a+b）=3+3+2=3+2，当且仅当b=a=时取等号的最小值为3+2故选：D【点评】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7椭圆的离心率为，并且经过点（2，0），此椭圆的标准方程可能是（）A +=1B +y2=1C=1Dy2=1【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程【解答】解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，a=2， =，c=1，b2=a2c2=3椭圆方程为
11、+=1（2）当椭圆的焦点在y轴上时，b=2， =，同理得椭圆的方程为综上知，所求椭圆的方程为+=1或故选A【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于基础题8函数的定义域是（）Ax|x4或x3Bx|4x3Cx|x4或x3Dx|4x3【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据根式函数的性质解不等式即可【解答】解：要使函数有意义，则x2+x120，即（x3）（x+4）0，解得x3或x4故函数的定义域为x|x4或x3故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及一元二次不等式的解法，比较基础9若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF2=9
12、0，则F1PF2的面积是（）A2B1CD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由椭圆的定义可得 m+n=2a=2，RtF1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4，由可得mn的值，利用F1PF2的面积是mn求得结果【解答】解：由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a=2 ，RtF1PF2 中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4，由可得mn=2，F1PF2的面积是mn=1，故选B【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用104设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆
13、C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到，曲线C2是以F1（5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程【解答】解：在椭圆C1中，由，得椭圆C1的焦点为F1（5，0），F2（5，0），曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为：=1，故选A【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质11下列说法正确的是（）A“x=1”是“x25x6=0”的必
14、要不充分条件B命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR 均有x2+x+10”C设集合m=x|0x3，N=x|0x2，那么“aM”是“aN”的必要而不充分条件D命题“若sin=sin，则=”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】求解一元二次方程判断A；直接写出命题的否定判断B；由集合中元素的关系判断C；由互为逆否命题的命题共真假判断D【解答】解：当x=1时，x25x6=0，反之，当x25x6=0时可得x=1或x=6，“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件选项A错误；命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR 均有x2+x+10”选项B错误；集合m
15、=x|0x3，N=x|0x2，那么由aM不一定有aN，反之由aN一定有aM“aM”是“aN”的必要而不充分条件选项C正确；命题“若sin=sin，则=”为假命题，其逆否命题为真命题为假命题选项D错误故选：C【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件、必要条件的判断方法，是中档题12双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先在RtMF1F2中，利用MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离
16、心率【解答】解：如图在RtMF1F2中，MF1F2=30，F1F2=2c，故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应题号的横线上.13等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=50，则lga5=1【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】已知等式利用等差数列的性质化简求出a5的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=50，5a5=50，即a5=10，则lga5=lg10=1，故答案为：1【点评】此题考查了等差数列的通项公
17、式，以及等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键14若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（1，1）【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知条件利用椭圆定义得，由此能求出k的取值范围【解答】解：椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，解得1k1k的取值范围为（1，1），故答案为：（1，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用15已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴
18、之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长，进而写出双曲线方程【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，=，其中一个顶点的坐标（a，0），此定点到渐近线x3y=0 的距离为： =1，a=2，b=，所求双曲线的方程为：【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a和b的值，是解题的关键，属于中档题16已知，则z=2x+4y的最大值为38【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】我们可以先画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出2x+y的最大值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是C（3，3），B（3，
19、8），A（，）由图可知，当z=2x+4y过B（3，8）时最大，此时z=382x+4y的最大值是38故答案为：38【点评】本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解17双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的方程求出离心率，然后化简，求解即可【解答】解：由题意知：e1=，e2=，=+=1，故答案为：1【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力18动点P与平面上两定点A（，0），
20、B（，0）连线的斜率的积为定值，则动点P的轨迹方程为+y2=1（x）【考点】轨迹方程【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设点P的坐标为（ x，y），则由题意利用直线的斜率公式可得=，化可简得结果【解答】解：设点P的坐标为（ x，y），则由题意可得=，化可简得+y2=1（x），故答案为： +y2=1（x）【点评】本题主要考查求点的轨迹方程，直线的斜率公式，属于基础题三、解答题：（本题共5小题，共60分）19在ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2a2=bc（）求角A的大小；（）若b=1，且ABC的面积为，求c【考点】解三角形；三角
21、形中的几何计算【专题】计算题【分析】（）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（）利用三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形ABC的面积，将sinA，b及已知三角形的面积代入，即可求出c的值【解答】解：（）在ABC中，由余弦定理得：cosA=，又b2+c2=a2+bc，即b2+c2a2=bc，0A，；（）sinA=，b=1，ABC的面积为，c=3【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20已知命题p：方程x2+mx+
22、1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】若命题p正确，则0，解得m范围若命题q正确，则0，解得m范围若“pq”为真，“pq”为假，则p与q必然一真一假，即可得出【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，=m240，解得m2或m2命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，=4（m+1）24m（m+1）0，解得m1若“pq”为真，“pq”为假，则p与q必然一真一假，或，解得m2或2m1实
23、数m的取值范围是m2或2m1【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21在直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；探究型；函数思想；转化思想；平面向量及应用；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率kAC，k
24、BC，通过求出动点C的轨迹方程（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程联立，求出交点坐标即可【解答】（本小题满分14分）解：（1）（x3），（x3）又，化简整理得（x3）（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足联立方程组，解得存在四个点满足条件，它们是：，【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力22数列an的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an0，4Sn=（an+1）2（）求a1的值；（）求证：数列an是等差数列，并求通项公式（）设bn=，求和Tn=b1+b2+bn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；证明题；等差数列与等比数列【分析】（）令
25、n=1，代入4Sn=（an+1）2求解即可；（）由4Sn=（an+1）2化简可得（an+1+an）（an+1an2）=0，从而可得an+1an=2，从而解得；（）由bn=，利用错位相减法求解即可【解答】解：（）令n=1，4S1=（a1+1）2，解得，a1=1；（）4Sn=（an+1）2，4Sn+1=（an+1+1）2，相减可得，4an+1=（an+1+1）2（an+1）2，（an+1+an）（an+1an2）=0，an0，an+1an=2，an是等差数列，an=1+2（n1）=2n1；（）bn=，Tn=b1+b2+bn=+，Tn=+，相减可得，Tn=+2（+）=+2=，故Tn=1【点评】本题考
26、查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了错位相减法的应用23已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ABC面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式，分别求得x0，y0，代入椭圆方程，
27、可求得线段PA中点M的轨迹方程（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由得由，点P在椭圆上，得，线段PA中点M的轨迹方程是（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此ABC的面积SABC=1当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，解得B（，），C（，），则，又点A到直线BC的距离d=，ABC的面积SABC=于是SABC=由1，得SABC，其中，当k=时，等号成立SABC的最大值是【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，还考查了三角形面积模型的建立和解模型的能力
