1、3.3.2函数的极值与导数填一填1.若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0.类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值.判一判1.极大值一定比极小值大()解析：由函数的图象容易得出函数的极大值可能比极小值还小，故错误2导数值为0的点一定是函数的极值
2、点()解析：导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点左右导数的正负情况，故错误3函数f(x)x2cos x在0，上的极小值点为.()解析：因为f(x)x2cos x，所以f(x)12sin x，令f(x)0，得x或x，由f(x)0可得x0可得0x，所以函数f(x)x2cos x在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数f(x)x2cos x的极小值点为.4函数f(x)x33x的极小值为2.()解析：f(x)3x23，令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，得x1；令f(x)0，得x0，g(x)是f(x)的导函数，则函数g(x)的极大值为_解析：由
3、题可得g(x)f(x)2ln x22x2a(x0)，则g(x)(x0)，易得函数g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，)上单调递减，所以函数g(x)的极大值为g(1)2a. 答案：2a知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A导数为零的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解析：易知选项A，B，C均不正确对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当xf(x0)，当xx0时，f(x)f(x0)，故在x0附
4、近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.答案：D2下列四个函数中，能在x0处取得极值的是()yx3；yx21；ycos x1；y2x.A BC D解析：为单调函数，不存在极值答案：B知识点二求函数的极值3.函数yx33x29x(2x2)的极值情况是()A极大值为5，极小值为27B极大值为5，极小值为11C极大值为5，无极小值D极小值为27，无极大值解析：y3x26x93(x1)(x3)，令y0，得x1或x3.当2x0；当1x2时，y0.所以当x1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值答案：C4函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2 B2，1C1
5、D3解析：f(x)x2x2(x1)(x2)，则知在区间(，1)和(2，)上，f(x)0，故当x1时，f(x)取极小值答案：C5已知函数f(x)x49x5，则f(x)的图象在(1,3)内与x轴的交点的个数为_解析：因为f(x)4x39，当x(1,3)时，f(x)0，所以f(x)在(1,3)上单调递增又f(1)30，所以f(x)在(1,3)内与x轴只有一个交点答案：1知识点三已知函数极值求参数6.若函数yx36x2m的极大值等于13，则实数m等于_解析：y3x212x，由y0，得x0或x4，易得出当x4时函数取得极大值，所以43642m13，解得m19.答案：197若函数f(x)2x36xk在R上
6、只有一个零点，求常数k的取值范围解析：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)，即k4.k的取值范围是(，4)(4，)8已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，求f(2)的值解析：f(x)3x22axb.由题意，得即解得或当a4，b11时，令f(x)0，得x11，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值显
7、然函数f(x)在x1处取极小值，符合题意，此时f(2)18.当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)没有极值，不符合题意综上可知f(2)18.基础达标一、选择题1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点解析：设函数图象与x轴的交点从左到右依次为a，b，c，d；函数的单调性如下：(，a)增，(a，b)减，(b，c)增，(c，d)减，(d，)增，所以在xa，xc处取得极大值，在xb，xd处取得极小值，所以有两个极大值点，两个极小值点，
8、故C正确答案：C2已知函数f(x)，xR，且在x1处，f(x)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0解析：f(x)在x1处存在极小值，x1时，f(x)1时，f(x)0.故选C.答案：C3函数f(x)x在x0时有()A极小值B极大值C既有极大值又有极小值D极值不存在解析：f(x)1，由f(x)0，得x1或x0，x1.由得0x1，即在(0,1)内f(x)0，f(x)在(0，)上有极小值故选A.答案：A4函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在
9、(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个C3个 D4个解析：f(x)的极小值点左边有f(x)0，因此由f(x)的图象知只有1个极小值点故选A.答案：A5已知函数f(x)ax3bx21在x1处取得极大值3，则f(x)的极小值为()A1 B0C1 D2解析：由题意知f(1)ab13，即ab2.因为f(x)3ax22bx，f(1)0，所以3a2b0.由得a4，b6.所以f(x)12x212x0，解得x0或x1.易知在x0处f(x)取极小值1.故选C.答案：C6函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则()A0b1 Bb0 Db解析
10、：f(x)3x23b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，解得0b1.故选A.答案：A7已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a2Ca2 Da6解析：f(x)3x22axa6，f(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当4a212(a6)0时，图象与x轴的左交点两侧f(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f(x)的值分别小于零、大于零所以才会有极大值和极小值4a212(a6)0得a6或a0)当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，所以ex1，所以a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a2(
11、a0)，f(x)0时得：xa或xa，f(x)0时，得ax.答案：三、解答题13求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)xex.解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值从表中可以看出，当x2时，函数f(x)有极大值，且f(2)(2)312(2)16；当x2时，函数f(x)有极小值，且f(2)2312216.(2)f(x)(1x)ex.令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(
12、，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).14已知函数f(x)x(xa)ln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)2x1(x0)，所以f(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是f(x)有极小值f(1)0，无极大值(2)易知f(x)2xa在区间上单调递增，又由题意可得f(x)2xa0在上无解即f0或f(1)0，解得a1或a1，即a的取值范围为(，11，).能力提升15.设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m
13、恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解析：(1)f(x)3x29x6.因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根解得a.16已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.解析：(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，因为f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1，又f(2)0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)证明：因为f(x)3(xa)，由于ab，故a，所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3b.又因为a2，x4，此时a，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4.