1、第二章 2.2 2.2.2 第2课时A级基础巩固一、选择题1AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则AFB的面积最大值是(B)Ab2BbcCabDac解析SABFSAOFSBOF|OF|yAyB|，当A、B为短轴两个端点时，|yAyB|最大，最大值为2b.ABF面积的最大值为bc.2已知以F1(2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C)A3B2C2D4解析设椭圆方程mx2ny21(mn0)消x得(3mn)y28my16m10192m24(16m1)(3mn)0整理得3mn16mn即16又c2，焦点在x轴上4由解得m，n，长轴长为2.
2、3点P为椭圆1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为(D)A(，1)B(，1)C(，1)D(，1)解析设P(x0，y0)，a25，b24，c1，SPF1F2|F1F2|y0|y0|1，y01，1，x0.故选D4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1By21C1D1解析根据条件可知，且4a4，a，c1，b，椭圆的方程为1.5(2017衡水高二检测)如果AB是椭圆1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkCM的值
3、为(C)Ae1B1eCe21D1e26(2017全国文，12)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是(A)A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)解析方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A方法2：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60
4、，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A二、填空题7(2017黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_x2y40_.解析设弦两端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.8直线ykx1(kR)与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围为_m1且m5_.解析将ykx1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m5k2)x210kx55m0.由m0,5k20，知m5k20，故100
5、k24(m5k2)(55m)0对kR恒成立即5k21m对kR恒成立，故1m0，m1.又m5，m的取值范围是m1且m5.简解：由椭圆方程易知m5，又直线过定点(0,1)1，即m1，m1且m5.三、解答题9设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得1，b4，又e，则，1，a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入椭圆方程得1，即x23x80，由韦达定理得x
6、1x23，所以线段AB中点的横坐标为，纵坐标为(3)，即所截线段的中点坐标为(，)10已知动点P与平面上两定点A(，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M、N两点，当|MN|时，求直线l的方程解析(1)设点P(x，y)，则依题意有，整理得y21.由于x，所以求得的曲线C的方程为y21(x)(2)由，消去y得，(12k2)x24kx0.解得x10，x2(x1、x2分别为M、N的横坐标)，由|MN|x1x2|，解得，k1.所以直线l的方程为xy10或xy10.B级素养提升一、选择题1在ABC中，ABBC，cosB.若以A、B为焦点
7、的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e(C)ABCD解析设|AB|x0，则|BC|x，AC2AB2BC22ABBCcosBx2x22x2()x2，|AC|x，由条件知，|CA|CB|2a，AB2c，xx2a，x2c，e.2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(C)A(0,1)B(0，C(0，)D，1)解析依题意得，cb，即c2b2，c2a2c2,2c2a2，故离心率e，又0e1，0eb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半
8、径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.二、填空题5椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_3_.解析如图，当直线xm，过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由，解得y，|AB|3.S323.6(2016江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.解析由题意可得B(a，)，C(a，)，F(c,0)，则由BFC90得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e.三、解答题7已知过点A(1,1)的直线l与椭
9、圆1交于点B、C，当直线l绕点A(1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程.解析设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC的中点M(x，y)，则，得()()0，(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.当x1x2时，式可化为(x1x2)2(y1y2)0.x，y，2x22y0，化简得x22y2x2y0.当x1x2时，点M(x，y)是线段BC中点，x1，y0，显然适合上式综上所述，所求弦中点M的轨迹方程是x22y2x2y0.8(2017吉林乾安七中高二期末)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，离心率e，焦点F1、F2在x轴上，过左焦点F1与A做直线交椭圆E于B
10、.(1)求椭圆E的方程；(2)求ABF2的面积.解析设椭圆E的方程为1(ab0)，(1)根据题意得解之得a216，b212.所以椭圆E的方程为1.(2)由(1)知，F1(2,0)，F2(2,0)，AF2x轴所以直线AB的斜率为，其方程为y(x2)由得7y212y270.已知y13，由y1y2得y2，SABF2c|y1y2|2.C级能力拔高如图所示，椭圆C：1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|，SA1B1A2B22SB1F1B2F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，且与椭圆相交于A，B两点的直线，|1.是否存在上述直线l使1成立
11、？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由|A1B2|，知a2b27，由SA1B1A2B22SB1F1B2F2，知a2c，又b2a2c2，由可知a2，b，c1.故椭圆C的方程为1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，假设使1成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为ykxm，由l与n垂直相交于P点且|1，得1，即m2k21.1，|1，()()210010，即x1x2y1y20.将ykxm代入椭圆方程，得：(34k2)x28kmx(4m212)0，由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.0x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)x1x2k2x1x2km(x1x2)m2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，将代入上式并化简得：(1k2)(4m212)8k2m2m2(34k2)0，将m2k21代入并化简得5(k21)0，无解即不存在符合题意的直线l.当l垂直于x轴时，满足|1的直线l的方程为x1或x1.当x1时，A，B，P的坐标为(1，)，(1，)，(1,0)，(0，)，(0，)，1.当x1时，同理可得1，矛盾即此时直线l也不存在综上可知，使1成立的直线l不存在