1、2020-2021学年吉林省四平第一高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知复数z满足（2+i）z15，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（）A（6，3）B（6，3）C（10，5）D（10，5）2下列调查方式中，不适合的是（）A调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式B调查某班学生的体重，采用普查的方式C调查一条河流的水质，采用抽查的方式D调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式3已知向量，若，则k（）A8B2CD24袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是（）ABCD5已
2、知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若，m，n，则mnC若m，m，则D若m，n，mn，则6+2（）A2+iB2iC1D37在菱形ABCD中，|4，点E是BC的中点，则（）A48B4C48D128在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA12，点E，F分别是AD，CC1的中点，点P是AD1的中点，则异面直线EF与BP所成角的大小是（）ABCD9已知复数z1，z2是方程x2+6x+250的两根，则（）Az1，z2的实部都是3Bz1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称C|z1|z2|5Dz1z22510某企业开展“学党史庆建党100周年”活
3、动，为了解该企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如图统计图已知该企业男员工占，则下列结论正确的是（）A男、女员工得分在A区间的占比相同B在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数C得分在C区间的员工最多D得分在D区间的员工占总人数的20%11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，且ABC的面积S（b2+c2a2），则ABC周长的最大值是（）A6B6+2C4D612如图，ABC是边长为6的等边三角形，点P在ABC所在平面外，平面PAC平面ABC，点D是棱BC的中点，点E，F分别在棱AC，PA上，且
4、AF2PF，AE3CE，PECE现给出下列四个结论：DE平面PAC；BF是定值；三棱锥BCEF体积的最大值是；若三棱锥PABC的体积是，则该三棱锥外接球的表面积是57其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13某校12名学生参加该市组织的科技竞赛，得分分别是95，87，96，92，85，88，89，82，98，91，95，89，则这组数据的第50百分位数是 14一艘轮船向正北航行，航速为40千米/时，在A处看灯塔P在船北偏东30的方向上，半小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75的方向上，则此时船与灯塔之间
5、的距离是 千米15在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA14，ABAC2，BAC90，点E，F分别是棱AB，CC1的中点，一只蚂蚁从E点出发，绕过三棱柱ABCA1B1C1的一条侧棱爬到点F处，则该蚂蚁爬行的最短路程是 16已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有4个红球和3个白球，若从A盒中随机取出1个小球放入B盒中，再从B盒中任取1球，则取到的球是红球的概率是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量（4，3），（m，6）（1）若m3，求向量，夹角的余弦值；（2）若，求的值18某地园林局为了解某披树木的生长情况，随机抽取了100株树木测量它们的
6、树干周长（单位：分米），根据调查数据，分成20，30），30，40），40，50），50，60），60，70）五组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求样本中树干周长不小于40分米的树木数量；（2）估计这批树木树干周长的中位数19如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点（1）求证：EF平面A1ACC1；（2）若EF3，求正方体ABCDA1B1C1D1的体积20我们在生产、生活中产生的大量垃圾正在严重侵蚀我们的生活环境，垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避免“垃圾围城”的有效途径垃圾分类是一项“利国利民”的民生工程，需要全社会的共同参与某社区为了促进生活垃
7、圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的分类垃圾箱该社区为调查居民生活生活垃圾分类投放情况，随机抽取该社区部分垃圾箱中的生活垃圾（单位：袋），得到如下数据：厨余垃圾可回收垃圾有害垃圾其他垃圾投放正确4202404565投放错误140401535（1）从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率；（2）现用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，再从这6袋垃圾中随机抽取2袋，求这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AB1，AD2，P
8、D，E为BC的中点，PEDE（1）证明：PA平面ABCD；（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值22在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A；（2）若a2，ABC的周长为6，求ABC的面积参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知复数z满足（2+i）z15，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（）A（6，3）B（6，3）C（10，5）D（10，5）解：由（2+i）z15，得z63i，复数z在复平面内所对应的点的坐标是（6，3）故选：A2下列调查方式中，不适合的是（）A调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式B调查某班学生的体重，采用普查的方式C调
9、查一条河流的水质，采用抽查的方式D调查某鱼塘中草鱼的平均重量，采用抽查的方式解：A、调查一批灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，所以采用抽查的方式，故A选项错误；B、调查某班学生的体重，需要知道每位学生的体重，所以采用普查的方式，故B选项正确；C、调查一条河流的水质，不可能把水全测一下，所以采用抽查的方式，故C选项正确；D、调查某鱼塘中草鱼的平均重量，不可能将鱼塘里的鱼全测一下，所以采用抽查的方式，故D选项正确，故选：A3已知向量，若，则k（）A8B2CD2解：根据题意，向量，则+k（2k1，3k），若，则（+k）（12k）+93k105k0，解可得k2；故选：D4袋子中有5个大小质地完全相同的球
10、，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是（）ABCD解：袋中有形状、大小都相同的5个球，其中2个红球，3个黄球从中随机一次摸出2个球，基本事件总数n10，这2个球中至少有1个白球的对立事件是这2个球中都是黄球，这2个球中至少有1个白球的概率p1故选：C5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若，m，n，则mnC若m，m，则D若m，n，mn，则解：对于A，若m，n，则mn，或m，n异面，或m，n相交，故A错误；对于B，若，m，n，则m，n异面；或m，n相交，或m，n平行，故B错误；对于C，若m，m，则，
11、或，相交，故C错误；对于D，若mn，m，n异面，可将m，n平移至相交直线，与、相交于a，b，由线面垂直的性质可得a，b垂直于、的交线，由面面垂直的定义可得，故D正确故选：D6+2（）A2+iB2iC1D3解：，+2i2021+2i+2故选：A7在菱形ABCD中，|4，点E是BC的中点，则（）A48B4C48D12解：在菱形ABCD中，|4，点E是BC的中点，则（）（）+42+4故选：B8在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA12，点E，F分别是AD，CC1的中点，点P是AD1的中点，则异面直线EF与BP所成角的大小是（）ABCD解：连接PE，BC1，则PED1D，且PED1D，又
12、C1FD1D，且C1FD1D，所以PEC1F，且PEC1F，所以四边形PEFC1是平行四边形，所以PC1EF，且PC1EF2，所以BPC1是异面直线EF与BP所成的角或其补角，如图所示：又因为BPPC12，BC14，所以BP2+，所以BPPC1，所以BPC190，即异面直线EF与BP所成角的大小是故选：D9已知复数z1，z2是方程x2+6x+250的两根，则（）Az1，z2的实部都是3Bz1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称C|z1|z2|5Dz1z225解：复数z1，z2是方程x2+6x+250的两根，z，不妨取z134i，z23+4i，则z1，z2的实部都是3，故A错误；z1，z2在复平
13、面内对应的点关于实轴对称，故B错误；|z1|z2|5，故C正确；，故D错误故选：C10某企业开展“学党史庆建党100周年”活动，为了解该企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如图统计图已知该企业男员工占，则下列结论正确的是（）A男、女员工得分在A区间的占比相同B在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数C得分在C区间的员工最多D得分在D区间的员工占总人数的20%解：由题意可得，该企业的总人数为 （人），则男男员工为500（70+60+50+20）300（人），女员工为70+60+50+20200（人），对于A，女职工在
14、A区间所占的比例为20（20+60+70+50）10%，男职工在A区间所占的比例为140%35%15%10%，故A正确，对于B，对于D区间，女员工的人数为50（人），男员工的人数为30015%45（人），故B错误，对于C，得分在A区间的总人数为20+30010%50（人），得分在B区间的总人数为60+30040%180（人），得分在C区间的总人数为70+30035%175（人），得分在D区间的总人数为50+30015%95（人），得分在B区间的员工最多，故C错误，对于D，得分在D区间的总人数为50+30015%95（人），总人数为500（人），得分在D区间的员工占总人数的，故D错误故选：A11
15、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，且ABC的面积S（b2+c2a2），则ABC周长的最大值是（）A6B6+2C4D6解：因为a2，且ABC的面积S，则bcsinA2bccosA，即可得sinA2cosA0，所以sin2A+（）21，解得sinA，（负值舍去），可得cosA，所以由余弦定理可得12b2+c22bc（b+c）2bc，即bc，又bc（）2，当且仅当bc时等号成立，所以（）2，整理解得（b+c）236，即b+c6，当且仅当bc3时等号成立，所以ABC周长a+b+c的最大值是6+2故选：B12如图，ABC是边长为6的等边三角形，点P在ABC所在平面外，平面PAC
16、平面ABC，点D是棱BC的中点，点E，F分别在棱AC，PA上，且AF2PF，AE3CE，PECE现给出下列四个结论：DE平面PAC；BF是定值；三棱锥BCEF体积的最大值是；若三棱锥PABC的体积是，则该三棱锥外接球的表面积是57其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4解：对于，取AC的中点M，连接BM，ABC是边长为6的等边三角形，BMAC，AE3CE，MECE，又BDDC3，DEBM，则DEAC，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，DE平面PAC，故正确；对于，连接MF、BF，DE平面PAC，PE平面PAC，DEPE，MFPE，又DEBM，BMMF，MFPECE1，BM6cos
17、303，则BF为定值，故正确；对于，三棱锥BCEF的高BM3，当CEF的面积最大时，三棱锥BCEF的体积最大，当FMAC时，CEF面积最大，三棱锥BCEF的体积的最大值为：V，故正确；对于，取ABC的中心为G，则AGAD2，过点G作平面ABC的垂线，垂足为G，设三棱锥PABC的外接球的球心为O，则O在垂线上，设OGx，外接球的半径为R，则EG2MG2+ME2，过点P作GE的平行线交GO于点N，则PNGE，NGPE，则在RtAOG中，在RtPNO中，解得x，三棱锥PABC的外接球的表面积为4R257，故正确正确结论的个数是4个故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题
18、卡相应的位置上）13某校12名学生参加该市组织的科技竞赛，得分分别是95，87，96，92，85，88，89，82，98，91，95，89，则这组数据的第50百分位数是 90解：先将数据从小到大排序得82，85，87，88，89，89，91，92，95，95，96，98，由于这组数据的第50百分位数即是求这组数据的中位数，所以这组数据的第50百分位数是8，故答案为：9014一艘轮船向正北航行，航速为40千米/时，在A处看灯塔P在船北偏东30的方向上，半小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75的方向上，则此时船与灯塔之间的距离是 10千米解：由条件有BAP30，AB20，PBA1807
19、5105，BPA1801053045由正弦定理有，代入数据得，解得BP10故答案为：1015在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA14，ABAC2，BAC90，点E，F分别是棱AB，CC1的中点，一只蚂蚁从E点出发，绕过三棱柱ABCA1B1C1的一条侧棱爬到点F处，则该蚂蚁爬行的最短路程是 解：由E到F有两种方法，方法一、将侧面B1BAA1展开到与平面A1ACC1在同一个平面，连接EF，可得EF；方法二、将侧面B1BAA1展开到与平面B1BCC1在同一个平面，连接EF，可得EF，所以该蚂蚁爬行的最短路程是16已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有4个红球和3个白球，若从A盒中随机取出1个小球放
20、入B盒中，再从B盒中任取1球，则取到的球是红球的概率是 解：若从A盒中取出的球为红球，则从B盒中任取1球，则取到的球是红球的概率为，若从A盒中取出的球为白球，则从B盒中任取1球，则取到的球是红球的概率为，则取到的球是红球的概率是+，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量（4，3），（m，6）（1）若m3，求向量，夹角的余弦值；（2）若，求的值解：（1）（4，3），（3，6），12186，|5，|3，向量，夹角的余弦值为cos，（2），243m，解得m8，321850，|5，|10，2+252+（50）10210018某地园林局为了解
21、某披树木的生长情况，随机抽取了100株树木测量它们的树干周长（单位：分米），根据调查数据，分成20，30），30，40），40，50），50，60），60，70）五组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求样本中树干周长不小于40分米的树木数量；（2）估计这批树木树干周长的中位数解：（1）由频率分布直方图可知，样本中树干周长不小于40分米的树木的频率为：（0.035+0.02+0.01）100.65，故样本中树干周长不小于40分米的树木数量为1000.6565（株）（2）设周长的中位数为x，则（0.015+0.02）10+（x40）0.0350.5，解得x44.29，故这批树木树干周长的中位数约
22、为44.2919如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点（1）求证：EF平面A1ACC1；（2）若EF3，求正方体ABCDA1B1C1D1的体积解：（1）证明：如图，连接BC1，AC1在正方形BCC1B1中，因为F是B1C的中点，所以F是BC1的中点因为E，F分别为AB，C1B的中点，所以EFAC1，又EF平面A1ACC1，AC1平面A1ACC1，所以EF平面A1ACC1（2）因为EF3，所以AC12EF6设正方体的棱长为a，则，所以，故正方体的体积为20我们在生产、生活中产生的大量垃圾正在严重侵蚀我们的生活环境，垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避免“
23、垃圾围城”的有效途径垃圾分类是一项“利国利民”的民生工程，需要全社会的共同参与某社区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的分类垃圾箱该社区为调查居民生活生活垃圾分类投放情况，随机抽取该社区部分垃圾箱中的生活垃圾（单位：袋），得到如下数据：厨余垃圾可回收垃圾有害垃圾其他垃圾投放正确4202404565投放错误140401535（1）从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率；（2）现用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，再从这6袋垃圾中随机抽取2袋，求这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率
24、解：（1）从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率为：P（2）用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，抽取到厨余垃圾的数量为：64，抽取到可回收垃圾的数量为：62，再从这6袋垃圾中随机抽取2袋，基本事件总数n15，这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾包含的基本事件个数：m9，这2袋垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率P21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AB1，AD2，PD，E为BC的中点，PEDE（1）证明：PA平面ABCD；（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接AE因为平面PAD平面A
25、BCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，所以AB平面PAD因为PA平面PAD，所以PAAB在AED中，AEED，AD2，所以AE2+ED2AD2，即AEED因为PEDE，PEAEE，所以DE平面PAE因为PA平面PAE，所以PADE因为AB，DE相交，所以PA平面ABCD（2）解：因为PA平面ABCD，AB1，AD2，E为BC的中点，PA，所以三棱锥PECD的体积VSECDPA11，在RtPDE中，ED，PE2，所以PDE的面积为2设C到平面PDE的距离为d，则d，所以d即C到平面PDE的距离为因为PC，所以直线PC与平面PDE所成角的正弦值为22在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A；（2）若a2，ABC的周长为6，求ABC的面积解：（1），由正弦定理可得3sinAcosB+sinBsinA3sinC，sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA，sinBsinA3cosAsinB，sinB0，sinA3cosA，可得tanA，A（0，），A（2）A，a2，ABC的周长为6，b+c4，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得4b2+c2bc（b+c）23bc163bc，解得bc4，SABCbcsinA