1、第六讲正弦定理、余弦定理ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2_b2c22bccos A_b2_a2c22accos B_c2_a2b22abcos C_常见变形a_2Rsin A_，b_2Rsin B_，c_2Rsin C_sin A_，sin B_，sin C_abc_sin Asin Bsin C_asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A_cos B_cos C_解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角
2、和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点二在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解知识点三三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)在ABC中，常有以下结论1ABC.2在三角形中，大边对大角，大角对大边3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边4sin (AB)sin C；cos
3、 (AB)cos C；tan (AB)tan C；sin cos ，cos sin .5tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.6ABabsin Asin Bcos AB必有sin Asin BB在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a1，c，A，则b1或2C若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，则实数a的取值范围是(，2)D在ABC中，若bcos Bacos A，则ABC是等腰三角形题组二走进教材2(必修5P10A组T8改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b(D)ABC2D3解析由余弦定理，得4b222bc
4、os A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D3(必修5P10A组T3改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A(B)A45B75C105D60解析由题意：，即sin B，结合bc可得B45，则A180BC75.4(必修5P18T1改编)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2_.解析设ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cos A，解得c2.所以Sbcsin A42sin 602.题组三考题再现5(2019全国卷，5分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Absin B
5、4csin C，cos A，则(A)A6B5C4D3解析由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A6(2019全国卷，5分)在ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.解析方法一：依题意与正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0，即sin Bcos B，则tan B1.又0B，所以B.方法二：由正弦定理得bsin Aasin B，又bsin Aacos B0，所以asin Bacos B0，即sin Bcos B，则tan B1.又0B0，故cos B0，B为钝角如图，过点C作CEAB交AB的延长线于点
6、E，则CEbsin BAC，BEacos ABC，故BECE.又CEAB，所以CBE，ABC.7(2019全国卷，5分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6_.解析方法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.方法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.KAO DIAN TU P
7、O HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一利用正、余弦定理解三角形自主练透考向1正弦定理的应用例1(1)(2020东北师范大学附属中学模拟)在ABC中，a1，A，B，则c(A)ABCD(2)(2020河南南阳期中)在ABC中，a8，b10，A45，则此三角形解的情况是(B)A一解B两解C一解或两解D无解解析(1)方法一：sin Csin (AB)sin (AB)sin Acos Bcos Asin B，由正弦定理得c，故选A方法二：由正弦定理，得b，则cos Ccos (AB)(cos Acos Bsin Asin B).由余弦定理可得，c.故选A(2)因为bsin 45580
8、)，结合余弦定理有：cos C，求解关于实数m的方程可得m1，则a3m3.(3)由正弦定理得sin Asin Bsin Cabc456，设a4，则b5，c6，又由余弦定理知cos A，所以2cos A21.名师点拨(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在ABC中，已知a1，b2，A60，则sin Bsin A1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定
9、理考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状师生共研例3(1)(2020长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C2ccos Ba，且B2C，则ABC的形状是(B)A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形(2)(2020开封调研)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2b2)sin (AB)(a2b2)sin (AB)，则ABC的形状是(D)A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析(1)因为2bcos C2ccos Ba，所以2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Asin (BC)，即sin B
10、cos C3cos Bsin C，所以tan B3tan C，又B2C，所以3tan C，得tan C，C，B2C，A，故ABC为直角三角形故选B(2)解法一：已知等式可化为a2sin (AB)sin (AB)b2sin (AB)sin (AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin 2Asin 2B，由02A2，02B2，得2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D解法二：同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B.a2bb2a，a2(
11、b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，ab或a2b2c2，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D名师点拨三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin Asin BAB；sin (AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A，cos A等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉
12、，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练1(1)(2020济南一中检测)在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lg blg lg sin Alg ，则ABC为(D)A锐角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形(2)在ABC中，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为_等腰或直角三角形_.解析(1)由lg blg lg lg lg ，得，即cb.由lgsin Alg，得sin A，又A为锐角，所以cos A.由余弦定理：a2b2c22bccos A得ab，故BA45，因此C90.故选D(2)因为cacos B(2ab)cos A，所以由正弦定理得sin
13、 Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin (AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，故cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Asin B，即A或AB，故ABC为等腰或直角三角形考点三与三角形面积有关的问题师生共研例4(2019全国卷，12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解析(1)由题设及正弦定理得sin Asin sin Bsin A因为sin A0，所以sin sin B.由ABC18
14、0，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos 0，故sin ，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC0，cos 4sin ，cos21sin216sin2，sin2cos B12sin2.解法二：由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则a
15、c.由余弦定理及ac6得，b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)36174，b2.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 三角形的最值问题例5(2020河南郑州检测)在ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acos Bb)a2b2.(1)求角A；(2)若a，求bc的取值范围分析(1)“化边”用余弦定理求A；(2)bc(sin Bsin C)，而已知，故可转化为求sin Bsin C的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关于bc的不等关系求解解析(1)c(acos Bb)a2b2，a2c2b2bc
16、2a22b2，a2b2c2bc，a2b2c22bccos A，cos A.又0Aa，bc(，2引申(1)在本例条件下：cos Bcos C的最大值为_1_；若bc1，则a的取值范围是_，1)_；的取值范围是_(1,2_.(2)在本例(2)的条件下，ABC面积的最大值为_；若ABC为锐角三角形，则ABC面积的取值范围是_(，_.若ABC的面积为2，则a的最小值为_2_.解析(1)cos Bcos Ccos Bcos (B)cos Bsin Bsin (B)，0B，B，sin (B)1，cos Bcos C的最大值为1.由余弦定理知a2b2c22bccos A(bc)23bc，a，又abc1，a1
17、.另解：a2(bc)23bc13b(1b)3(b)2又0b1，a21，即a1.sin Bsin (B)(sin Bcos Bsin B)sin Bcos B2sin (B)0B，B，sin (B)1，12sin (B)2，即的取值范围是(1,2(2)解法一：由余弦定理有a2b2c22bccos A，即3b2c2bc，32bcbcbc(当且仅当bc时取等号)，SABCbcsin A，即ABC面积的最大值为.解法二：由题意b2sin B，c2sin C2sin (B)，bc4sin Bsin (B)4sin B(cos Bsin B)sin 2Bcos 2B12sin (2B)1.0B，2B，si
18、n (2B)1(当且仅当B时取等号)故bc3.SABCbcsin A，即ABC面积的最大值为.注：由A知A的轨迹为弦BC所对优弧，显然当A在BC中垂线上即ABAC，也就是ABC为正三角形时SABC最大，又a，SABC的最大值为.换一角度理解，显然当SABC取最大值时对b、c要求相同，因此必有bc.由知SABCbcsin Asin (2B)，ABC为锐角三角形，0B，即B，2B，sin (2B)1，SABC.注：根据上图显然当C时，由tan 得b1，此时SABC.同理B时，SABC，又由知SABC，故结合图形可知SABC.SABCbcsin Abc2，bc8，又a2b2c22bccos Ab2c
19、2bcbc8，(当且仅当bc时取等号)，amin2.名师点拨三角函数中最值(或范围)问题ABC中，若已知角C及其对边c.(1)可用“化角”的方法求形如ab(sin Asin B)的式子的取值范围；(2)可用余弦定理得含有ab、ab及a2b2的等式，再利用均值定理化为以ab或ab为变量的不等式求得ab或ab的最值，从而可得三角形周长或面积的最值变式训练3(1)(2020甘肃天水一中学段考试)在ABC中，B，若b2，则ABC面积的最大值是(D)A44B4C4D22(2)(2018北京，14)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_(2，)_.解析(1)由余弦定理有8a2c22accos ，即8a2c2ac(2)ac，(当且仅当ac时取等号)，ac4(2)，SABCacsin 22，故选D(2)本题主要考查正弦、余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换依题意有acsin B(a2c2b2)2accos B，则tan B，0B，又A0，0A，则0tan A，故2.故的取值范围为(2，)
