1、 点、线、面的位置关系高考试题考点一 判断点、线、面的位置关系1.(2013年浙江卷,文4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()(A)若m,n,则mn(B)若m,m,则(C)若mn,m,则n(D)若m,则m解析:A项,当m,n时,m,n可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B项,当m,m时,可能平行也可能相交,故错误;C项,当mn,m时,n,故正确;D项,当m,时,m可能与平行,可能在内,也可能与相交,故错误.故选C.答案:C2.(2012年四川卷,文6)下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,
2、则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1B1和B1C1与下底面所成的角相等(都是0),但A1B1与B1C1不平行.即选项A不正确;若E、F、G、H分别为AA1、BB1、CC1、DD1的中点,则平面ABB1A1内点A、B、B1、A1到平面EFGH的距离都相等,但平面EFGH与平面ABB1A1相交,即选项B不正确;A1B1平面ABCD,A1B1平面CDD1C1,易知A1B1平行于平面ABCD与平面CDD1C1的交线CD,平面ABB1A1与平面B
3、CC1B1都与底面ABCD垂直,但两平面不平行.即选项D不正确;故选C.答案:C3.(2012年浙江卷,文5)设l是直线,是两个不同的平面()(A)若l,l,则(B)若l,l,则(C)若,l,则l(D)若,l,则l解析:当l,l时,与可能相交,这时l平行于与的交线,故选项A错误;由于l,故在内存在直线ll,又因为l,所以l,故,所以选项B正确;若,在内作交线的垂线l,则l,此时l在平面内,因此选项C错误;已知,若=a,la,且l不在平面,内,则l且l,因此选项D错误.答案:B4.(2011年四川卷,文6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()(A)l1l2,l2l3l1l
4、3 (B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中:对于选项A:A1D1AA1,ABAA1,但A1D1与AB是异面直线,选项A错误;对于选项C:ABA1B1C1D1,但三线不共面,选项C错误;对于选项D,AB、AA1、AD共点于A,但三线不共面,选项D错误.正确答案是B.答案:B5.(2010年山东卷,文4)在空间,下列命题正确的是()(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行解析:平行直线
5、的平行投影可能平行,故选项A不正确;平行于同一直线的两个平面可能相交,故选项B不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故选项C不正确;选项D是直线与平面垂直的性质定理,故选项D正确.答案:D6.(2011年浙江卷,文4)若直线l不平行于平面,且l,则()(A)内的所有直线与l异面(B)内不存在与l平行的直线(C)内存在唯一的直线与l平行(D)内的直线与l都相交解析:由题意知,直线l与平面相交,则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.答案:B7.(2010年湖北卷,文4)用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,b
6、c,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号是()(A)(B)(C)(D)解析:是平行公理,正确;空间中垂直于同一直线的两直线可能平行,也可能相交、异面但不垂直,故不正确;平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面,故不正确;垂直于同一平面的两直线平行,是直线与平面平行的性质定理,正确,故答案选C.答案:C8.(2009年江苏卷,12)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.上面
7、命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:命题是两个平面平行的判定定理,正确;命题是直线与平面平行的判定定理,正确;命题中在内可以作无数条直线与l垂直,但与只是相交关系,不一定垂直,错误;命题中直线l与垂直可推出l与内两条直线垂直,但l与内的两条直线垂直推不出直线l与垂直,所以命题不正确.答案:考点二 几何体中点、线、面的位置关系1.(2013年江西卷,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB与CD重合.在正四面体CDEF内,易得C
8、D与EF所在直线是异面直线且互相垂直,故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有2个.又因EF不与平面垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.答案:42.(2012年安徽卷,文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).四面体ABCD每组对棱相互垂直;四面体ABCD每个面的面积相等;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180;连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.解析:把四面体补形为平行六面体
9、,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时才正确,故不正确.在长方体中,有BACDCA.ABCDCB,CBDADB.四面体ABCD每个面的面积都相等,故正确.对于,以BAC,CAD,BAD为例说明.BACDCA,CAD=ACB.又DABCBA,BAD=ABC.BAC+CAD+BAD=BAC+ACB+ABC=180,故不正确.对于,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故正确.对于,以AB、AC、AD为例进行说明.AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成ABC,AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶
10、点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故正确.答案:3.(2010年江西卷,文11)如图所示,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()(A)(B)(C)(D)解析:在AB上任取一点P,则平面PMC1与AB,B1C1都相交,这样的平面有无数个,故是假命题,结合选项可知应选C.答案:C4.(2009年海南、宁夏卷,文9)如图所示,正方体ABCDA
11、1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中错误的是()(A)ACBE(B)EF平面ABCD(C)三棱锥ABEF的体积为定值(D)AEF的面积与BEF的面积相等解析:AC平面BB1D1D,又BE平面BB1D1D,ACBE,故选项A正确.B1D1平面ABCD,又E、F在直线B1D1上运动,故EF平面ABCD.故选项B正确.选项C中由于点B到直线EF的距离是定值,故BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为定值,故不变.故选项C正确.由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等,因此AEF与BEF的面积不相等,故选项D错误.答案:D考点三 利用线面关
12、系解决有关数量问题1.(2013年北京卷,文8)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个解析: 如图,取底面ABCD的中心O,连接PA,PC,PO.AC平面DD1B,又PO平面DD1B,ACPO.又O是AC的中点,PA=PC.同理,取B1C与BC1的交点H,易证B1C平面D1C1B,B1CPH.又H是B1C的中点,PB1=PC,PA=PB1=PC.同理可证PA1=PC1=PD.又P是BD1的三等分点,PBPD1PB1PD,故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.答案:B2.(2012年重庆卷,文
13、9)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()(A)(0,)(B)(0,)(C)(1,)(D)(1,)解析:如图所示,AB=,CD=a,设点E为AB的中点 ,则EDAB,ECAB,则ED=,同理EC=.由构成三角形的条件知0aED+EC=,0a.答案:A3.(2009年湖南卷,文6)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.答案:C4.(2013年安徽卷,文15)如图,正方体ABCDA1B1
14、C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为.解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.当0CQ时,如图(1).在平面AA1D1D内,作AEPQ,显然E在棱DD1上,连接EQ,则S是四边形APQE.当CQ=时,如图(2).显然PQBC1AD1,连接D1Q,则S是等腰梯形.当CQ=时,如图(3).作BFPQ交CC1的延长线于点F,则
15、C1F=.作AEBF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AEPQ,连接EQ交C1D1于点R,由于RtRC1QRtRD1E,C1QD1E=C1RRD1=12,C1R=.当CQ1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.当CQ=1时,如图(4).同可作AEPQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MPAQ=.答案:5.(2011年福建卷,文15)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于.解析:由于在正方体ABCDA1
16、B1C1D1中,AB=2,AC=2.又E为AD中点,EF平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,EFAC.F为DC中点.EF=AC=.答案:6.(2013年陕西卷,文18)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.(1)证明:由题设知,BB1DD1,BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD
17、1B1.又BDA1B=B,平面A1BD平面CD1B1.(2)解:A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高.又AO=AC=1,AA1=,A1O=1.又SABD=1,=SABDA1O=1.7.(2013年湖南卷,文17)如图,在直棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.(1)证明:ADC1E;(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60时,求三棱锥C1A1B1E的体积.(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1. 由,得
18、AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.(2)解:因为ACA1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角.由题意知A1C1E=60.因为B1A1C1=BAC=90,所以A1C1A1B1.又AA1A1C1,从而A1C1平面A1ABB1.于是A1C1A1E.故C1E=2.又B1C1=2,所以B1E=2.从而 = A1C1=2=.考点四 求异面直线所成的角1.(2012四川卷,文14)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如图所示,取CN的中点K,连接MK,
19、则MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体棱长为4,则A1K= = ,MK= DN= = ,A1M= =6,A1M2+MK2=A1K2,A1MK=90.答案:902.(2012年大纲全国卷,文16)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为.解析:如图所示,连接DF,则AEDF,D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=a,D1F=a,cosD1FD=.答案:模拟试题 考点一 判断点、线、面的位置关系1.(2013广东珠
20、海高三上学期期末)已知直线l、m和平面,则下列命题正确的是()(A)若lm,m,则l(B)若l,m,则lm(C)若lm,l,则m(D)若l,m,则lm解析:对于选项A,l可能在内;对于选项B,l与m可能异面;对于选项C,m可能在内,只有选项D正确.答案:D2.(2012湖北襄阳模拟)关于直线a、b、l以及平面、,下面命题中正确的是()(A)若a,b,则ab(B)若a,ba,则b(C)若a,a,则(D)若a,b,且la,lb,则l解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1平面ABCD,B1C1平面ABCD,但A1B1B1C1=B1,故选项A不正确;A1B1平面ABCD,A1D1
21、A1B1,但A1D1平面ABCD,故选项B不正确;对于平面ABCD内的直线AB、CD都与直线A1D1垂直,但A1D1平面ABCD,故选项D不正确.故选C.答案:C考点二 判断几何体中点、线、面的位置关系1.(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是() (A)MN与CC1垂直(B)MN与AC垂直(C)MN与BD平行(D)MN与A1B1平行解析:由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,故选项D错误.答案:D2.(2012安徽蚌埠模拟)如图所示,在四面体OABC中
22、,OA、OB、OC两两垂直,且OB=OC=3,OA=4.给出以下命题:存在点D(O点除外),使得四面体DABC有三个面是直角三角形;存在点D,使得点O在四面体DABC外接球的球面上;存在唯一的点D使得四面体DABC是正棱锥;存在无数个点D,使得AD与BC垂直且相等.其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号填上).解析:过O作平面ABC的垂线(O为垂足),延长至D使OD=OO,连接AD,BD,CD,则四面体DABC有三个面是直角三角形,故正确;在以O、A、B、C确定的球上,显然存在点D满足条件,故正确;因为AB=AC=5,BC=3,所以当点D满足BC=BD=CD=3且AD=5,四面体是以BC
23、D为底面的正棱锥,这样的D点有两个,所以不正确.取BC的中点O1,在平面AOO1内以A为圆心,以BC为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这样的点D有无数个,故正确.答案:考点三 利用点、线、面关系解决有关数量问题1.(2013北京西城区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中,与体对角线AC1异面的棱有()(A)3条(B)4条(C)6条(D)8条解析:正方体的12条棱中,以点A和点C1作为一个端点的棱各有3条,故与AC1异面的棱有12-6=6条.故选C.答案:C2.(2011辽宁抚顺)已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断正确的是()(A)MN(AC+BD) (B)
24、MN(AC+BD)(C)MN=(AC+BD) (D)MN(AC+BD)解析:如图所示,在空间四边形ABCD中,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,NE=BD.在MNE中,MNME+NE=(AC+BD).故选D.答案:D考点四 求异面直线所成的角(2013山东临沂3月月考)在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,连接AC、BD,设ACBD=O,BDAC,BDVO,ACVO=O,BD平面VAC,VA平面VAC,BDVA,即异面直线BD与VA所成的角是.答案:D综合检测1.(2013潍坊
25、一模)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件解析:若,l,则l,又m,lm,若lm,l,m,不一定有,故“”是“lm”的充分不必要条件.故选A.答案:A2.(2012海南琼海一模)已知一个平面,l为空间中的任意一条直线,那么在平面内一定存在直线b使得()(A)lb (B)l与b相交(C)l与b是异面直线(D)lb解析:当l与平面相交时,平面内不存在直线l满足lb,故选项A错;当l时,l与b平行或异面,故选项B错;当l时,l与b平行或相交,故选项C错误;无论l与的位置关系如何,在平面内总存在直线bl.故选D.答案:D
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