1、2015-2016学年江苏省南通市海门市包场高中高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1函数f（x）=的定义域是2已知幂函数f（x）=（n2+2n2）x（nZ）在（0，+）上是增函数，则n的值3若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则=4若函数y=x32x2+mx，当x=时，函数取得极大值，则m的值为5已知x0，观察下列不等式：x，xx4，则第n个不等式为6给出下列命题：（1）命题“在ABC中，若A=30，则sinA=”的逆否命题为“在ABC中，若sinA则A30”（2）若pq为假命题，则p，q均为假命题（3）xR，
2、sin2x+cos2x=1的否定为真命题（4）已知命题p：函数y=ax1+2（a0且a1）的图象恒过一定点A，则点A的坐标为（1，2），其中正确命题的序号为7已知方程8x2+6kx+2k+1=0有两个实根sin和cos，则k=8设函数f（x）=，则满足f（x）=2的x的值为9若函数是奇函数，则满足f（x）a的x的取值范围是10已知角、的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，、（0，），角的终边与单位圆交点的横坐标是，角+的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos=11设xR，f（x）=（）|x|，若不等式f（x）kf（2x）对于任意的xR都恒成立，则实数k的取值范围是12已知函数的零点分别为x1
3、，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是13若关于x的不等式（ax20）lg0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值范围是14曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=ex，x1，5上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知cos=，sin（+）=，（0，），（，）（1）求cos2的值；（2）求sin的值16已知命题p：实数x满足，已知命题q：实数x满足（）（x2）（x3a1）1（1）当q为真命题时，不等式的解集记为A
4、，求A；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围17已知函数f（x）=lnx+，aR（1）若函数f（x）在2，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在1，e上的最小值为3，求实数a的值18甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t0，12，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5|t6|，t0，12问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin60.279）19已知函数f（x）=loga（ax）（a0，a1为常数）（）求函数f（x）的定义域；（）若
5、a=3，x1，9，求函数f（x）的值域；（）若函数y=af（x）的图象恒在直线y=3x+1的上方，求实数a的取值范围20已知函f（x）=x28lnx，g（x）=x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值2015-2016学年江苏省南通市海门市包场高中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1函数f（x）=的定义域是x|1x2且x0【考点】函数的
6、定义域及其求法【分析】由分式中的对数式的真数大于0且不等于1，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解x的取值集合即可得到答案【解答】解：由，解得：1x2，且x0函数f（x）=的定义域是x|1x2，且x0故答案为：x|1x2，且x02已知幂函数f（x）=（n2+2n2）x（nZ）在（0，+）上是增函数，则n的值3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义与性质，得出，由此求出n的值【解答】解：幂函数f（x）=（n2+2n2）x（nZ）在（0，+）上是增函数，解得，即n的值为3故答案为：33若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则=【考点】指数函数的定义、解析式、定义
7、域和值域【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，然后根据特殊三角函数值进行解答即可【解答】解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2=tan=故答案为：4若函数y=x32x2+mx，当x=时，函数取得极大值，则m的值为1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求导，再利用导数与极值的关系求出m【解答】解：y=3x24x+m，当x=时，函数取得极大值，34+m=0，即+m=0，即m1=0m=1故答案为：15已知x0，观察下列不等式：x，xx4，则第n个不等式为x【考点】归纳推理【分析】根据不等式：x，xx4，结合左右两边式子的特点，可以猜测第n个不等式x【解答】解：观察下列不等式
8、：x，xx4，可知，各个不等式左边共有两项，第一项都为x，第二项依次为，右边依次为2，3，4，n+1从而得满足的不等式为x故答案为：x6给出下列命题：（1）命题“在ABC中，若A=30，则sinA=”的逆否命题为“在ABC中，若sinA则A30”（2）若pq为假命题，则p，q均为假命题（3）xR，sin2x+cos2x=1的否定为真命题（4）已知命题p：函数y=ax1+2（a0且a1）的图象恒过一定点A，则点A的坐标为（1，2），其中正确命题的序号为（1）【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）根据逆否命题的定义进行判断，（2）根据复合命题真假之间的关系进行判断，（3）根据全称命题的定义和性
9、质进行判断（4）根据指数函数过定点的性质进行判断【解答】解：（1）命题“在ABC中，若A=30，则sinA=”的逆否命题为“在ABC中，若sinA，则A30”正确，故（1）正确，（2）若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故（2）错误，（3）xR，sin2x+cos2x=1，则命题的否定为假命题，故（3）错误，（4）已知命题p：函数y=ax1+2（a0且a1）的图象恒过一定点A，由x1=0得x=1，则y=1+2=3，则点A的坐标为（1，3），故（4）错误，故正确的是（1），故答案为：（1）7已知方程8x2+6kx+2k+1=0有两个实根sin和cos，则k=【考点】同角三角函数基本关系的
10、运用【分析】由题意，利用韦达定理得到sin+cos=，sincos=，根据sin2+cos2=1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：方程8x2+6kx+2k+1=0有两个实根sin和cos，sin+cos=，sin和cos=sin2+cos2=1，（sin+cos）22sincos=1，即=1，整理得：（k2）（9k+10）=0，解得：k=2或k=，由于k=2时0，故舍去，故k=8设函数f（x）=，则满足f（x）=2的x的值为0【考点】函数的值【分析】当x1时，f（x）=21x=2；当x1时，f（x）=1log2x=2由此能求出结果【解答】解：f（x）=，且满足f（x）=2
11、，当x1时，f（x）=21x=2，1x=1，解得x=0；当x1时，f（x）=1log2x=2，解得x=，不成立x=0故答案为：09若函数是奇函数，则满足f（x）a的x的取值范围是【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据奇函数定义求出a的值，得原不等式即f（x）2，再分类讨论，分别解一元二次不等式，可得原不等式的解集【解答】解：当x0时，f（x）=（x）22（x）=x2+2x函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=f（x）=x22x，对照已知条件，得a=2当x0时，原不等式可化为x22x2，即x22x+20解之得x0；当x0时，原不等式可化为x22x2，即x2+2x20解之得1x0综上所述，得原不
12、等式的解集为故答案为：10已知角、的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，、（0，），角的终边与单位圆交点的横坐标是，角+的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出sin，根据 + 的范围及cos（+）的值求出sin （+）的值，利用两角差的余弦公式计算cos=cos（+）的值【解答】解：由题意得 、（0，），cos=，sin=，故sin（+）=，+，cos（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=，故答案为11设xR，f（x）=（）|x|，若不等式f（x）kf（2x）对于任意的xR都恒
13、成立，则实数k的取值范围是2，+）【考点】指数函数的图象变换【分析】若不等式f（x）+f（2x）k对于任意的xR恒成立，只要（f（x）+f（2x）mink对于任意的xR恒成立即可，将f（x）的解析式代入，利用换元法转化为二次函数求最值即可【解答】解：f（x）=（）|x|，f（2x）=（）|2x|，不等式f（x）+f（2x）k对于任意的xR恒成立令t=（）|x|=t（0，1，则y=t2+t（0t1）对称轴t=，则当t=1时，ymax=2，k2，故答案为：2，+）12已知函数的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是x1x2x3【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】由于函数的零
14、点分别为x1，x2，x3，即函数令y1=2x，y2=lnx，与函数y=x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，作出函数的图象，结合函数的图象可判断【解答】解：令y1=2x，y2=lnx，y=x函数的零点分别为x1，x2，x3函数令y1=2x，y2=lnx，与函数y=x的交点的横坐标分别作出函数的图象，结合图象可得x1x2x3故答案为：x1x2x313若关于x的不等式（ax20）lg0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值范围是【考点】函数恒成立问题【分析】不等式等价于或，解不等式，可得，a=【解答】解：不等式等价于或，或，a=实数a的取值范围是故答案为：14曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=
15、1，x=5所围成，过曲线y=ex，x1，5上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是（2，e2）【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出P的坐标，求出切线的斜率，写出切线的方程，表示出切出的梯形的面积，把面积的表示式去掉绝对值，得到两种不同的情况，针对于两种不同的情况进行讨论，利用导数求出最值【解答】解：设p点坐标为（m，em），则切线的斜率为k=em设切线方程：y=kx+b把p点坐标代入直线方程可求的截距b=emmem0切线方程为：y=emx+（1m）em那么切出来的梯形的面积为S=（|k+b|+|5k+b|）（51）=
16、2（|2m|+|6m|）em 1m5当1m2时，S=4（4m）em当2m5时，S=8em当1m2时，S=4（4m）em求导得S=4（4m）emem=4（3m）em0 （1m2）S=4（4m）em在1，2上单调增，且当m=2时有最大值Smax=8e2当m2时，切线方程中令y=0，解得x=m11，无法构成梯形，四条直线（y=0，x=1，x=5，过点P的切线）构成的两个三角形综上所述，当m=2时，梯形面积有最大值8e2，此时p点坐标为（2，e2）故答案为（2，e2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知cos=，sin（+）=
17、，（0，），（，）（1）求cos2的值；（2）求sin的值【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2，将cos的值代入计算即可求出值；（2）由cos的值，以及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，再由与的范围求出+的范围，根据sin（+）的值求出cos（+）的值，sin=（+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）cos=，cos2=2cos21=；（2）cos=，（，），sin=，（0，），（，），+（，），又sin（+）=，cos（+）=，则sin=sin
18、（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）+=16已知命题p：实数x满足，已知命题q：实数x满足（）（x2）（x3a1）1（1）当q为真命题时，不等式的解集记为A，求A；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用【分析】（1）根据指数函数以及二次函数的性质解不等式组，求出集合A即可；（2）通过讨论a的范围，求出关于命题q的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可【解答】解：（1）（）（x2）（x3a1）1（x2）（x3a1）0，3a+12即a时，不等式的解集是：A=（2，3a+1），3a+12即a时，不等式的解集是
19、：A=（3a+1，2），（2）由，得：，解得：2x5，由（1）得：3a+12即a时，不等式的解集是（2，3a+1），若p是q的必要不充分条件，则（2，3a+1）（2，5，3a+15，解得：a，a；3a+12即a时，不等式的解集是（3a+1，2），若p是q的必要不充分条件，则（3a+1，2）（2，5，3a+12，解得：a1，1a；综上，a1，）（，17已知函数f（x）=lnx+，aR（1）若函数f（x）在2，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在1，e上的最小值为3，求实数a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求导数：根据f（x）
20、在2，+）上是增函数，得出a在2，+）上恒成立令，则ag（x）min，从而求得实数a的取值范围；（2）由（1）得，x1，e下面对2a进行分类讨论：若2a1，若12ae，若2ae，分别讨论函数f（x）在1，e上的最小值为3列出等式求出a值即可【解答】解：（1），f（x）在2，+）上是增函数，0在2，+）上恒成立，即a在2，+）上恒成立令，则ag（x）min，x2，+）在2，+）上是增函数，g（x）min=g（2）=1a1所以实数a的取值范围为（，1（2）由（1）得，x1，e若2a1，则x2a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上是增函数所以f（x）min=f（1）=2a=3，解
21、得（舍去）若12ae，令f（x）=0，得x=2a当1x2a时，f（x）0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，当2axe时，f（x）0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数所以f（x）min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）若2ae，则x2a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上是减函数所以，所以a=e综上所述，a=e18甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t0，12，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5|t6|，t0，12问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大
22、值？最大值为多少？（参考数据：sin60.279）【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性【分析】要求甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值，设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）因为g（t）中含有绝对值，分0，6和（6，12两个区间讨论t的取值范围化简绝对值，分别求出H（t）=0时t的值得到函数的增减性以及正弦、余弦函数的增减性得到两个最大值，比较最大即可【解答】解：设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）当t0，6时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5（6t）=sint+t+1H（t）=cost+10，所以H（t
23、）在t0，6上单调递增，所以H（t）max=H（6）=7+sin6；当t（6，12时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5（t6）=sintt+13H（t）=cost10，所以H（t）在t（6，12上单调递减，所以H（t）7+sin6=6.721；故当t=6h时，甲、乙两水池蓄水量之和H（t）达到最大值，最大值为6.721百吨19已知函数f（x）=loga（ax）（a0，a1为常数）（）求函数f（x）的定义域；（）若a=3，x1，9，求函数f（x）的值域；（）若函数y=af（x）的图象恒在直线y=3x+1的上方，求实数a的取值范围【考点】对数函数的图象与性质【分析】（）根据对数函数成
24、立的条件，即可求函数f（x）的定义域；（）把a=2代入函数解析式，由x的范围求得对数函数真数的范围，则函数值域可求；（）由对数的运算性质化简y=af（x），把函数y=af（x）的图象恒在直线y=3x+1的上方转化为成立，分离参数a后求出二次函数的最值，则答案可求【解答】解：（）要使函数有意义，则ax0，且x0，即x，即函数f（x）的定义域x|x；（）若a=3，则f（x）=log3（3x），x1，9，1，3，则3x2，24，函数f（x）的值域为log32，log324；（）y=af（x）=ax，函数y=af（x）的图象恒在直线y=3x+1的上方，即ax（3x+1）0恒成立，也就是a+3在（，+）
25、上恒成立令=t，则t（0，a），则at2+t3在t（0，a）恒成立，aa2+a3，解得0a20已知函f（x）=x28lnx，g（x）=x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（2）由已知中函数f（x）=x28l
26、nx，g（x）=x2+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）g（x）=2x28lnx14x与y=m的图象有且只有一个交点，求出h（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值【解答】解：（1）因为f（x）=2x，所以切线的斜率k=f（x）=6又f（1）=1，故所求切线方程为y1=6（x1）即y=6x+7（2）（x0）当0x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a2g（x）=x2+14x=（x7）2+49如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+17，即a6由上得出，当2a6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解有唯一解设h（x）=2x28lnx14x（x0）h（x），h（x）随x变化如下表x（0，4）4（4，+）h（x）0+h（x）极小值2416ln2由于在（0，+）上，h（x）只有一个极小值，h（x）的最小值为2416ln2，当m=2416ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解2016年8月2日