1、选修45不等式选讲第2讲几个重要不等式的证明及其应用基础巩固1.已知x2+4y2+kz2=36(其中k0)且t=x+y+z的最大值 7,则k=.【答案】 9【解析】 由柯西不等式得(x2+4y2+kz2)(x+y+z)2,又tmax=7,36=49.k=9.2.若不等式|a-1|x+2y+2z,对满足x2+y2+z2=1的一切实数x,y,z恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】 a4或a-2【解析】 由柯西不等式得(x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,由题意|a-1|3,a4或a-2.来源:学科网3.已知a,b为实数,求证:.【证明】 =1+1.当且仅当,即a=b时
2、取等号.原不等式成立.4.设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3.【证明】 x是正实数,由基本不等式知,x+12,1+x22x,x3+12,故(x+1)(x2+1)(x3+1)22x2=8x3(当且仅当x=1时等号成立).5.设x0,y0,若不等式0恒成立,求实数的最小值.【解】 x0,y0,原不等式可化为-(x+y)=2+.2+2+2=4,(x+y)min=4,即-4,-4.故的最小值为-4.6.求函数f(x)=的最大值.【解】 ,由柯西不等式得()2(12+12)()2+()2=6,.当且仅当x=时“=”成立.f(x)的最大值为.7.已知a,b为正数,求证:.【证明】
3、 a0,b0,(a+b)=5+5+2=9.8.已知abc0,且ac,求证:若a,b,c成等差数列,则不可能成等差数列.【证明】 假设成等差数列,则,化简得b(a+c)=2ac.因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.把代入,得(a+c)2=4ac,由此得(a-c)2=0,a=c.这与ac相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.9.已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值.【解】 (x2+2y2+3z2)=(3x+2y+z)2,(3x+2y+z)212,-23x+2y+z2.当且仅当x=-,y=-,z=-时,3x+2y+z取最小值,最小值为-2.10.设a,b,c都是正数,求证:a
4、+b+c.【证明】 由题意不妨设abc0,由不等式的单调性,知abacbc,.由排序原理,知ab+ac+bcab+ac+bc=a+b+c,即所证不等式成立.11.用数学归纳法证明+(nN*).【证明】 (1)当n=1时,1,命题成立.(2)假设n=k时命题成立,即+.则当n=k+1时,+(k+1)=,来源:学科网即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2),可知对一切正整数n,不等式都成立.12.已知正数x,y,z满足x+y+z=1.(1)求证:;(2)求4x+4y+的最小值.【解】 (1)证明:因为x0,y0,z0,所以由柯西不等式得来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com(y+2z)+
5、(z+2x)+(x+2y)(x+y+z)2,又因为x+y+z=1,所以.(2)由均值不等式得4x+4y+3,因为x+y+z=1,所以x+y+z2=1-z+z2=.故4x+4y+3=3.当且仅当x=y=,z=时等号成立,所以4x+4y+的最小值是3.13.(1)设x1,y1,证明x+y+xy;(2)设1abc,证明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.【证明】 (1)由于x1,y1,所以x+y+xyxy(x+y)+1y+x+(xy)2.将上式中的右式减左式,得y+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1
6、)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).既然x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0.从而所要证明的不等式成立.(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得logca=,logba=,logcb=,logac=xy.于是,所要证明的不等式即为x+y+xy,其中x=logab1,y=logbc1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.拓展延伸14.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.【证明】 方法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c23(abc,3
7、(abc,所以9(abc.故a2+b2+c2+3(abc+9(abc.又3(abc+9(abc2=6,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc=9(abc时,式等号成立,即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.方法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac.来源:学科网ZXXK同理,故a2+b2+c2+ab+bc+ac+3+3+36.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,式等号成立,即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.