1、第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第4课时圆锥曲线中的证明与探索性问题A级基础过关|固根基|1.设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足，连接AC交DE于点P，求证：|PD|PE|.解：(1)由e，知，所以ca，因为MF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21.(2)证明：由(1)得A(2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(
2、x0，0)因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)由可得(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为.整理得y(x2)又点P在DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，|PD|PE|.2已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个顶点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足2(O为坐标原点)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得解得椭圆C的标准方程是1.(2)不妨设点M在点N上方，当直线l的斜率不
3、存在时，M(0，)，N(0，)，则3，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y整理得，(34k2)x216kx40，由(16k)216(34k2)0，解得k，则x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)44.2，2，解得k，满足0，存在符合题意的直线l，其方程为yx2.3.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：ANMBNM.解：(1)设圆C的半径为r(
4、r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)因为|MN|3，所以r222，解得r2.所以圆C的方程为(x2)2.(2)证明：把x0代入方程(x2)2，解得y1或y4，即点M(0，1)，N(0，4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.所以kANkBN0.所以ANMBNM.综上，ANMBNM.4(2019届湖北八校联考)已知抛物线C：y22px(p0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为.(1)若N，过点N，P的直线l1
5、与抛物线相交于另一点Q，求的值；(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(xa)2y21相交于D，E两点，O为坐标原点，OAOB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为点P(2，t)到焦点F的距离为，所以2，解得p1，故抛物线C的方程为y22x，P(2，2)，设直线l1为yaxb，则解得所以l1的方程为yx，联立得可解得xQ，又|QF|xQ，|PF|，所以.(2)存在设直线l2的方程为xnym(m0)，代入抛物线方程可得y22ny2m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22n，y1y22m，由OAOB得，(ny
6、1m)(ny2m)y1y20，整理得(n21)y1y2nm(y1y2)m20，将代入解得m2或m0(舍去)，满足4n28m0，所以直线l2：xny2.因为圆心M(a，0)到直线l2的距离d，所以|DE|2，显然当a2时，|DE|2，所以存在实数a2，使得|DE|为定值.B级素养提升|练能力|5.已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2|2|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由解：
7、(1)直线2xy20与y轴的交点为(0，2)，F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值235.(2)假设存在，抛物线x22py与直线y2x2联立方程组得x24px4p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(4p)216p16(p2p)0，则x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p)|2|2|.则0，得(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，代入得4p23p10，解得p
8、或p1(舍去)因此存在实数p，且满足0，使得|2|2|成立6(2020届武汉市部分学校高三质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆E：1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1，0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x1，y1)，则1.由知即代入得x2y24.即点P的轨迹方程为x2y24.(2)假设存在点B(m，0)满足条件，由|BP|2|AP|得 2，即3x23y2(2m8)xm24.此方程与x2y24表示同一方程，故解得m4.存在点B(4，0)满足条件