1、31函数的概念与性质31.1函数及其表示方法第1课时函数的概念在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域新知初探自主学习突出基础性知识点一函数的概念1函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写)中都有唯一确定的实数yf(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域和值域函数yf(x)中x称为自变量，y称为
2、因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA称为函数的值域状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：AB ”表示A到B的一个函数(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样知识点二同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数基础自测1.下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()AA1，0，1，B0，1，f：A中的数平方BA0，1，B1，0
3、，1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DA平行四边形，BR，f：求A中平行四边形的面积2函数f(x)x-1x-2的定义域为()A(1，)B1，)C1，2) D1，2)2，+3下列各组函数表示同一函数的是()Ayx2-9x-3与yx3Byx21与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dyx1，xZ与yx1，xZ4若函数f(x)x+6x-1，求f(4)_课堂探究素养提升强化创新性题型1函数的定义经典例题例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A1，2，3，B7，8，9，f(1)f(2)7，f(3)8；(2)A1，2，3，B4，5，6，对应关系如图所示；1
4、.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集2判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析(3)AR，By|y0，f：xy|x|；(4)AZ，B1，1，n为奇数时，f(n)1，n为偶数时，f(n)1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应注意A中元素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应
5、关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”跟踪训练1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()(1)x0，1取不到1，2.y0，3超出了N0，2范围可取一个x值，y有2个对应，不符合题意A0个B1个C2个 D3个 (2)下列对应是否是函数？ (2)关键是否符合函数定义x3x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.题型2求函数的定义域教材P83例1例2求下列函数的定义域：(1)f(x)1x+1；(2)g(x)1x+1x+2.【解析】(1)因为函数有意义当且仅当x+10，x+10，解得x1，所以函数的定义域为(1，)(2)因为函
6、数有意义当且仅当x0，x+20，解得x0且x2，因此函数的定义域为(，2)-2，00，+教材反思求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)分母不为0(2)偶次根式被开方数0x+10底数不为0(3)偶次根式被开方数0分母不为0(1)f(x)6x2-3x
7、+2；(2)f(x)x+10x-x；(3)f(x)2x+3-12-x+1x.题型3同一函数教材P66例3例3下面各组函数中为相同函数的是()Af(x)x-12，g(x)x1Bf(x)x2-1，g(x)x+1x-1Cf(x)x，g(x)x2xDf(x)x0与g(x)1x0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数 (1)f(x)x2-xx，g(x)x1；(2)f(x)xx，g(x)xx；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x)x2.
8、判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可题型4求函数的值域经典例题例4求下列函数的值域(1)y34x，x(1，3.(2)y2xx+1.(3)yx24x5，x1，2，3(4)yx24x5.状元随笔(1)用不等式的性质先由x(1，3求4x的取值范围，再求34x的取值范围即为所求(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域(3)将自变量x1，2，3代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到
9、(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axbcx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域跟踪训练4求下列函数的值域：(1)y2x1，x1，2，3，4，5；(2)yx1；(3)先分离再求值域(3)y1-x21+x2；(4)配方法求值域(4)yx22x3(5x2)第三章函数31函数的概念与性质31.1函数及其表示方法第1课时函数的概念新知初探自主学习基础自测1解析：对B，集合A中的元素
10、1对应集合B中的元素1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义综上，选A.答案：A2解析：使函数f(x)x-1x-2有意义，则x-10，x-20，即x1，且x2.所以函数的定义域为x|x1且x2故选D.答案：D3解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同答案：C4解析：f(4)4+64-1224.答案：4课堂探究素养提升例1【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数(2)集合A中的元素
11、3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数跟踪训练1解析：(1)图号正误原因 x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性同时满足任意性与唯一性x2时，对应元素y3N，不满足任意性x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)是函数因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义不是函数当x1时，y1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念答案：(1)B(2)是函数不是函数跟踪训练2解析：(1)要使函数有意
12、义，只需x23x20，即x1且x2，故函数的定义域为x|x1且x2(2)要使函数有意义，则x+10，x-x0，解得x0，x0，解得32x2，且x0.故定义域为-32，00，2例3【解析】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)|x1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.【答案】D跟踪训练3解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)1x，g(x)x(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同例4【解析】(1)因为1x3，所以
13、124x4，所以934x7，所以函数y34x，x(1，3的值域是9，7)(2)因为y2xx+12x+1-2x+122x+12，所以函数y2xx+1的值域为y|yR且y2(3)函数的定义域为1，2，3，当x1时，y124152，当x2时，y224251，当x3时，y324352，所以这个函数的值域为1，2，(4)因为yx24x5(x2)21，xR时，(x2)211，所以这个函数的值域为1，)跟踪训练4解析：(1)将x1，2，3，4，5分别代入y2x1，计算得函数的值域为3，5，7，9，11(2)因为x0，所以x11，即所求函数的值域为1，)(3)因为y1-x21+x2121+x2，所以函数的定义域为R，因为x211，所以021+x22.所以y(1，1.所以所求函数的值域为(1，1.(4)yx22x3(x1)24.因为5x2，所以4x11.所以1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函数的值域为12，3.
