1、阶段质量检测（二） (A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察分子中26537110(2)8.2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数ABC D解析：选B按“三段论”的模式，排列顺序正确的是.3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三
2、角形的中心D各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心4(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3axb0没有实根”5将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：()abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由a
3、bac(a0)，可得bc.则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误6用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从nk到nk1时，左边需增乘的代数式是()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：选B增乘的代数式为2(2k1)7已知a，bR，m，nb2b，则下列结论正确的是()Amn BmnCmn Dmn解析：选Am，nb2b2，所以nm，故选A.8用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图
4、形需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.9观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76C123 D199解析：选C记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)
5、18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.10数列an满足a1，an11，则a2 017等于()A. B.1C2 D3解析：选Aa1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)，a2 017a13672a1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11设函数f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_解析：f(x)，f(1x).f(x)f(1x)，发现f(x)f(1
6、x)正好是一个定值，2S12，S3.答案：312已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a，b均为实数)，请推测a_，b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a6，b62135，即a6，b35.答案：63513若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸
7、函数(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(结论)，即sin Asin Bsin C3sin.因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案：14观察下图：1234 3 4 567 4 5 678910则第_行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n1项的等差数列，其各项和为Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2，令(2n1)22 0152，得2n12 015，解得n1 008.答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)15(本小题满分12分)观察：
8、sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想解：猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin(302)sin(30)1sin(230)cos 60cos 2sin 60sin 2cos 2sin(230)sin(230)sin(230)sin(230)，即sin2cos2(30)sin cos(30).16(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较 与 的
9、大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角解：(1) .证明如下：要证 ，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2 ，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac，故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B0.由余弦定理得，cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立，所以角B不可能是钝角法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立，所以角B不可能是钝角17(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan .(2)设xR，a为非零常数，且f(xa)，试问：f(x)是周
10、期函数吗？证明你的结论解：(1)根据两角和的正切公式得tan，即tan，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数证明：因为f(x2a)f(xa)a)，所以f(x4a)f(x2a)2a)f(x)所以f(x)是以4a为周期的周期函数18(本小题满分14分)在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解：(1)S1a1，得a1，因为an0，所以a11.S2a1a2，得a2a210，所以a21.S3a1a2a3，得a2a310，所以a3.(2)猜想an(nN*)证明如下：n1时，a11，命题成立假设nk(k1，kN*)时，ak成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，所以a2ak110，所以ak1，则nk1时，命题成立由知，nN*，an.