1、第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用A级基础过关|固根基|1.已知向量a(1，1)，b(0，2)，则下列结论正确的是()Aab B(2ab)bC|a|b| Dab3解析：选B对于A，12010，错误；对于B，2ab(2，0)，b(0，2)，则20020，所以(2ab)b，正确；对于C，|a|，|b|2，错误；对于D，ab10122，错误2(2020届陕西省百校联盟模拟)已知向量a(1，m)，b(0，2)，且(ab)b，则实数m等于()A2 B1C1 D2解析：选A依题意得ab(1，m2)，所以(ab)b102(m2)0，解得m2，故选A.3(2019届永州模拟)已知非零向量a，b的夹角
2、为60，且|b|1，|2ab|1，则|a|()A. B1C. D2解析：选A非零向量a，b的夹角为60，且|b|1，ab|a|1.|2ab|1，|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，4|a|22|a|0，|a|.4(2019届石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B.C. D.解析：选D设|b|1，则|ab|ab|2.由|ab|ab|，得ab0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos ，0，.5已知向量a，b满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的取值范围为()A1，2 B2，4C
3、. D.解析：选D由题意知b0，设向量a，b的夹角为，因为(ab)(a2b)a2ab2b20，又|a|1，所以1|b|cos 2|b|20，所以|b|cos 12|b|2，因为1cos 1，所以|b|12|b|2|b|，所以|b|1，所以|b|的取值范围是.6若单位向量e1，e2的夹角为，向量ae1e2(R)，且|a|，则_解析：由题意可得e1e2，|a|2(e1e2)2122，化简得20，解得.答案：7(2019届江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为_解析：因为b在a上的投影为3，所以|b|cosa，b3，又|a|2，所以ab|a|b|c
4、osa，b6，又ab13m，所以3m6，解得m3，则b(3，3)，所以|b|6，所以cosa，b，因为0a，b，所以a与b的夹角为.答案：8(一题多解)(2019年天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_解析：解法一：BAD30，ADBC，ABE30，又EAEB，EAB30，在EAB中，AB2，EAEB2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，(2，)，(1，)，(2，)(1，)1.解法二：同解法一，求出EBEA2，以，为一组基底，则，()222252122
5、51.答案：19已知向量a(2，1)，b(1，x)(1)若a(ab)，求|b|的值；(2)若a2b(4，7)，求向量a与b夹角的大小解：(1)由题意得ab(3，1x)由a(ab)，可得61x0，解得x7，即b(1，7)，所以|b|5.(2)由题意得，a2b(4，2x1)(4，7)，故x3，所以b(1，3)，所以cosa，b.因为a，b0，所以a与b夹角是.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角为；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解：(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab
6、2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC433.B级素养提升|练能力|11.(2019届郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB3，BC，2，点F在边CD上若3，则的值为()A0 B.C4 D4解析：选C2|.设与的夹角为，3|cos 1|1.以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，3)，F(，1)，E.因此(，2)，23264，故选C.12(2019届西安模拟)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面
7、积等于()A. B2C3 D4解析：选B由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形由|2，|1可得|，则|2，所以ABC的面积为222.13(一题多解)(2020届大同模拟)已知P是线段AB的垂直平分线上一点，O是平面上一点，a，b，p，且|3，|2，则p(ab)_.解析：解法一：如图，设C为线段AB的中点，连接CP，OC，则，得0.p(ab)()()，又()，所以()()(22).解法二：因为P是线段AB垂直平分线上任意一点，不妨设P是线段AB的中点，所以p()(ab)，所以p(ab)(a2b2).答案：14.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若，向量m，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的的值解：(1)设D(t，0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|2tt2t2t1，所以当t时，|有最小值且最小值为.(2)由题意得C(cos ，sin )，m(cos 1，sin )，则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21sin，因为，所以2，所以当2，即时，sin取得最大值1，所以当时，mn取得最小值为1.