1、3 计算导数01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、导函数如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x)：f(x)_，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数二、常见函数的导数函数导函数函数导函数yc(c 是常数)y_ysin xy_limx0fxxfxx0 cos x函数导函数函数导函数yx(为实数)y_ycos xy_yax(a0，a1)y_特别地，(ex)_ytan xy_ylogax(a0，a1)y_特别地，(ln x)_ycot xy_x1 sin x axln a(a0)ex 1co
2、s2x 1xln a 1x 1sin2x疑难提示“函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量(2)导函数简称导数，所以导数fx在一点xx0处的导数 导函数 个别与一般(3)函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值想一想1(sin3)cos312，正确吗？提示：不正确因为sin3 32 是一个常数，所以(sin3)0.练一练2曲线f(x)xn(nN)在x
3、2处的导数为12，则n等于()A1 B2C3 D4解析：f(x)nxn1，f(2)n2n112，n3.答案：C3曲线y1x上一点P处的切线的斜率为4，则点P的坐标为_解析：易知y1x 1x2，则 1x24，解得x12，所以点P的坐标为12，2 或12，2.答案：12，2 或12，2探究一 利用导数公式求导数典例 求下列函数的导数：(1)y1；(2)y 1x2；(3)yx x；(4)y2x；(5)y；(6)y(sinx2cosx2)21.解析(1)y(1)0.(2)y(1x2)(x2)2x3.(3)y(x x)()32 x.(4)y(2x)2xln 2.(5)y()1xln12 1xln 2.(
4、6)y(sinx2cosx2)21sin2x22sinx2cosx2cos2x21sin x，y(sin x)cos x.基本初等函数的导数公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验1已知函数f(x)x3，x0ln x，0 x1，若f(a)12，则实数a的值为_解析：f(x)3x2，x01x，0 x1，若f(a)12，则0a11a12或a03a212，解得a 112或a2.答案：112或22求下列函数的导数(1)ylog3x；(2)ysin x2cos2x21；(3)y5x.解析：(1)y(log3x
5、)1xln 3.(2)ysin x2cos2x21sin xcos xtan x，y(tan x)1cos2x.(3)y(5x)5xln 5.探究二 导数公式的应用导的数应公用式 利用导数公式求切线方程 利用导数公式求物体运动的瞬时速度 导数公式的综合应用3(1)求曲线y x在点B(1,1)处的切线方程；(2)求曲线yln x的斜率等于4的切线方程解析：(1)y(x)12x12，ky|x112，曲线y x在点B(1,1)处的切线方程为y112(x1)，即x2y10.(2)y1x，曲线yln x的一条切线的斜率等于4，y1x4，得x14，此时yln 4，切点为14，ln 4，所求切线方程为yln
6、 44x14，即4xy1ln 40.4已知某运动着的物体运动方程为s(t)t5(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解析：s(t)5t4，s(3)534405，即物体在t3 s时的瞬时速度为405 m/s.5已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线，求实数a，b，c的值解析：f(x)过点(2,0)，f(2)223a20，解得a8，同理，g(2)4bc0.f(x)6x28，在点P处切线斜率kf(2)622816.又g(x)2bx，2b216，b4，c4b16.综上，a8，b4，c16.数形结合思想在导数问题中的应用典例 已知
7、直线x2y40与抛物线y24x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使ABP的面积最大解析 如图所示，因为|AB|为定值，要使PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只需点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可设P(x，y)，由图可知，点P在x轴的下方的图像上，所以y2 x，所以y 1x，因为kAB12，所以 1x12，所以x4.由y24x(y0)得y4.所以P(4，4)为所求点的坐标感悟提高 本例借助图形分析，由于|AB|是定值，只要P点到AB的距离最大，则SABP就最大问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大因此找到曲线上到已知直线距离最大的点就是与直线平行且与曲线相切的切点，是解决本题的关键，体现了数形结合思想的应用03课时 跟踪训练