1、河北省保定市定州中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：设，依题意有，故.考点：复数概念及运算【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法
2、类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：投影为.考点：向量概念及运算3. 在我国古代著名的数学专著 九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢? （）A. 16 日B. 12 日C. 9 日D. 8 日【答案】C【解析】【分析】【详解】解：由题可知，良马每日
3、行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为0.5的等差数列，则an103+13（n1）13n+90，bn970.5（n1）97.50.5n，则数列an与数列bn的前n项和为112522250，又数列an的前n项和为（103+13n+90）（193+13n），数列bn的前n项和为（97+97.50.5n）（194.5n），（193+13n）（194.5n）2250，整理得：25n2+775n90000，即n2+31n3600，解得：n9或n40（舍），即九日相逢故选C点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的
4、能力，注意解题方法的积累，属于中档题4. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.5. 动点满足点为，为原点，则最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：,作出不等式组对应的平面区域如图,则的夹角最小,由,计算得出,即,则,又,则,所以的最大值是,故选C.考点：平面向量的数量积.【方法点晴】本题考查学生的是简单的线性规划,属于中档题目.线性规划中的目标函数要掌握基本的几
5、何意义,比如斜率,距离和平行直线系等,本题要求的最大值,通过分离参变量可以得到,即求在方向上的投影最大,因此当可行域内的任一点与点重合时,满足题意,联立两条直线方程求出点的坐标,代入公式即可求得的最大值.6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】【分析】试题分析：由三视图可知，这是一个四棱锥，如下图所示，根据这几个数据，即可得出选项C.另外，故. 考点：三视图7. 已知函数是奇函数，其中,则函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 可由函数的图象向右平移个单位得到C. 可由函数的图象向左平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位
6、得到【答案】C【解析】试题分析：依题意有，故，故由向左移个单位得到.考点：三角函数图象变换8. 中，若，则（ ）A. B. C. 是直角三角形D. 或【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：中， ，代入得，化简可得， ，分两种情况讨论，（1）当时，化为，则 ， ，则；（2）当时，则，综上可得， 或，故选D考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理【方法点睛】本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案在该题中最常见的错误是：，两边同时约去，
7、忽视遗漏的情形9. 已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，且求得实数的取值范围.【详解】解：由得，则由，得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，由，得， 因为数列是单调递增数列，所以时，即，所以，又，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；（2）作商比较法根据(或)与1的大小关系进行判断；（3）数形结合法结合相应函数图象直观判断.10
8、. 如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，利用平面向量的坐标运算建立有关、的方程组，求出这两个量的值，可得出的值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，故，解得.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.11. 已知函数，在 处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果 ，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】试题分析：，程序框图的
9、作用是求其前项和，由于，故再循环一次就满足，故填.考点：算法与程序框图【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12. 已知满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将变形为，取，相加得，结合已知条件进行等效转化即可求出答案.【详解】由得，取，得到个等式并两边相加得，因为，得，整理得又，所以.故选B.【点睛】本题考查数列递推公式和前项和问题
10、的综合应用，考查学生整体代换思想、推理能力和计算能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列满足：，且对任意的都有：，则 【答案】5050【解析】【分析】令，再利用累加法求得.【详解】解：令，再利用累加法求得：故答案：5050.本题考查了赋值法及利用数列递推式求数列通项的基本方法，属于中档题.14. 已知在中，则的值为_.【答案】【解析】在中，建立直角坐标系,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.15. 在中,角、所对的边分别为、，且，则面积的最大值为 【答案】【解析】试题分析：，外接圆直径为，由图可知，当在垂直平分线上时，面积取得最大值.设高，则由相交
11、弦定理有，解得，故最大面积为.考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件我们结合图像，很容易知道这就是.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.16. 已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是【答案】【解析】【分析】令，则该函数为偶函数，利用导数可求在上有两个不同的零点时实数的取值范围，该范围即为所求的范围.【详解】定义域为，令，这是一个偶
12、函数，我们只需研究上的零点即可，此时，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，函数在区间上单调增，在区间上单调减，要有两个零点，只需，解得.【点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到的范围.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（
13、2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简等式整理可得，又，可求，结合A为内角即可求得A的值；（2）由三角函数恒等变换化简已知可得，可求的范围，从而可求，即可得解.【详解】（1）由正弦定理可得，从而可得，即，又B为三角形的内角，所以，于是，又A为三角形内角，因此，.（2），由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为.18. 设数列的前项和为，.（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）设，若不等式对恒成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析
14、：（1）利用，求得，这是等差数列，故；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.试题解析：（1）由,得,相减得.故数列是以为首项,以公差的等差数列.（2）由（1）知,由,得,即存在满足条件的自然数.（3）,即单调递增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.故符合条件的最大值为. 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式19. 如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且，.（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，（i）当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；（ii）设，点，且.求关于的函数的解析式，并求其单调增区间.【答案】（1）；（2
15、）（i）；（ii）；增区间为和.【解析】【分析】（1）由三角函数定义得，再弦化切代入计算，即可求的值；（2）（i）设PA中点为H，则，由此可求点O的轨迹方程；（ii）确定，即可求其单调增区间.【详解】解：（1）由三角函数定义得，所以（2）四边形是平行四边形，与互相平分，（i）设中点为，则，又，所以，代入上式得点Q的轨迹方程为.（ii）因为，所以，又由（i）知，或，的增区间为和.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动
16、点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所
17、求轨迹的方程.20. 已知函数（）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（）已知，.当时，有两个极值点，且，求的最小值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）借助题设条件运用导数建立不等式求解；（）借助题设条件运用导数的知识求解试题解析：（）由已知可得在上恒成立，恒成立，记，当且仅当时等号成立（）当时，由，由已知有两个互异实根，由根与系数的关系得，令，单调递减，考点：导数的知识在研究函数的单调性和最值方面的的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力
18、本题的第一问求解时借助导数与单调性的关系建立不等式，然后依据不等式恒成立和基本不等式求出参数的取值范围；第二问的推证中则通过构造函数,再运用导数研究函数的单调性,求出然后再次构造函数，通过求导求出最小值为，从而使得问题简捷巧妙获解21. 在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列，. （1）求证：数列等差数列；求数列通项公式；（2）设数列的前项和为,证明:.【答案】（1）证明见解析；当为偶数时,当为奇数时；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等差中项和等比中项有，化简得，所以数列为等差数列；由得首项为公差为，所以，即，结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时；（2），另外，故，所
19、以，利用裂项求和法求得.试题解析：（1）因为数列单调递增数列, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列.又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时.（2）求数列通项公式为:,因为,所以,则有.考点：数列与不等式【方法点晴】在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和应用
20、公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式四、解答题（共1小题，满分10分）22. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 （ab0， 为参数），以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点对应的参数与曲线C2交于点（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2），是曲线C1上的两点，求 的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数平方关系，消去参数，得曲线C1普通方程，先确定曲线C2极坐标方程=2cos，再利用将极坐标化为直角坐标方程：（2）由题意得：，+=（+）+（+）=
21、试题解析：（1）将M（2，）及对应的参数=；=；代入得：得：曲线C1的方程为：（为参数）即：设圆C2半径R，则圆C2的方程为：=2Rcos，将点D（，）代入得：=2R R=1圆C2的方程为：=2cos即：将A（1，），（2，+）代入C1得：+=（+）+（+）=考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程【选修4-5：不等式选讲】23. 已知.（1）求证：；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法，按三个零点分段去掉绝对值，可求得最小值为，得证；（2）由（1），利用均值不等式，有，只需排除等号成立的时候，即时，解得.【详解】（1），的最小值为.（2）由（1）知: 的最大值等于,当,“=” 成立,即当时,取得最小值,当时, 又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围.考点：不等式选讲