1、1.4.3正切函数的性质与图象 学 习 目 标 1能够作出ytan x的图象2记住正切函数的性质3会利用正切函数的图象与性质解决相关问题知识点一|正切函数的性质阅读教材P42P43，完成下列问题知识梳理1定义域由正切函数的定义可知正切函数的定义域为.2周期性由诱导公式tan(x)tan x，xR，xk，kZ可知，是正切函数的一个周期3奇偶性正切函数的定义域为，关于原点对称，由于tan(x)tan x，因此正切函数是奇函数4单调性和值域正切函数在开区间，kZ内都是增函数此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(，)或R，因此正切函数没有最值思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(
2、1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上是增函数()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()答案：(1)(2)(3)小试身手1函数ytan的最小正周期是()A4B4C2 D2解析：选D函数ytan的最小正周期T2，故选D.2(2019德化县校级月考)已知函数ytan x在区间0，上单调递增，但在区间上没有单调性，则可以是()A2 B2C1 D1解析：选B函数ytan x在区间，上单调递增，0，又y在区间上没有单调性，函数ytan x的最小正周期满足：T，即，24，结合选项可知选B.3函数y2tan(3x)，(0，是奇函数，则 .答案：知识点二|正切函数的图象阅读教
3、材P43P45，完成下列问题知识梳理正切函数ytan x的图象ytan x图象小试身手4函数y|tan x|的单调增区间为 ，其奇偶性是 解析：由函数y|tan x|得y根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图所示 由图象可知，函数y|tan x|是偶函数函数y|tan x|的单调增区间为(kZ)答案：(kZ)偶函数题型一正切函数的定义域【例1】求下列函数的定义域(1)ytan；(2)yln(tan x)解(1)由6xk(kZ)，得x(kZ)，故定义域为.(2)由题意得即故定义域为(kZ)方 法 总 结求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，
4、还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.1函数y的定义域为()Ax|x0Bx|xk，kZCD.解析：选D函数y有意义时，tan x0，所以函数的定义域为xx，kZ.2求函数ylg(1tan x)的定义域解：由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为，所以所求函数的定义域是(kZ)题型二正切函数的周期性、奇偶性、对称性【例2】(2019成都校级模拟)关于函数f(x)|tan x|的性质，下列叙述不正确的是()Af(x)的最小正周期为Bf(x)是偶函数Cf(x)的图象关于直线x(kZ)对称Df(x
5、)在每一个区间(kZ)上单调递增解析对于函数f(x)|tan x|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为，A错误；又f(x)|tan(x)|tan x|f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x(kZ)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kZ)上单调递增，D正确故选A答案A方 法 总 结与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题有关的求解问题一是可利用公式求解，二是注意关于奇偶性、对称性问题的有关结论可直接应用注意易忽视正切曲线只有对称中心.3函数f(x)t
6、an的最小正周期为()A BC2 D4解析：选DT4.故选D.4函数y3tan 2x的对称中心为()A(kZ) B(kZ)C(kZ) D(k，0)(kZ)解析：选B2x(kZ)，x(kZ)，故对称中心为(kZ)故选B.题型三正切函数单调性及应用多维探究常见的应用角度有：1求单调区间2比较大小3求值域或最值角度1求单调区间【例3】求函数ytan的单调区间解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数ytan的单调递减区间是(kZ)，无单调递增区间角度2比较大小【例4】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan与tan；(2)tan与tan.解(1)因为tanta
7、n，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.(2)因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，所以tantan，即tantan.角度3求值域或最值【例5】求函数ytan，x的值域解x，令t，由ytan t，t的图象(如图所示)，可得所求函数的值域为，).方 法 总 结1求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法可用“整体代换”的思想求解，注意的正负对单调性的影响2运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系1掌握3个性质(1)正切型函数
8、yAtan(x)的周期性、奇偶性一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数(2)正切型函数yAtan(x)的单调性求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2判明2个易错点(1)易忽视正切函数ytan x的定义域为，如例1的第(2)题(2)易忽视正
9、切曲线只有对称中心而没有对称轴自测检评1(2019陕西黄陵中学高二开学考试)函数y|tan x|，ytan x，ytan(x)，ytan|x|在上的大致图象依次是()ABC D解析：选C函数y|tan x|对应的图象为，ytan x对应的图象为，ytan(x)对应的图象为，ytan|x|对应的图象为.故选C2函数y的值域是()A(1,1) B(，1)(1，)C(，1) D(1，)解析：选Bx，1tan x1，(，1)(1，)故选B.3与函数ytan的图象不相交的一条直线的方程是()Ax BxCx Dx解析：选D当x时，2x，因为的正切值不存在，所以直线x与函数的图象不相交故选D.4函数ytan，xR且xk，kZ的一个对称中心是()A(0,0) BC D(，0)解析：选Cytan x的对称中心为(kZ)，x(kZ)，x(kZ)，当k2时，x，对称中点为.故选C5已知函数ytan x在内是减函数，则()A01 B10C1 D1解析：选Bytan x在内是减函数，0且T.10.故选B.