1、13.1.3直观图的斜二测画法学 习 任 务核 心 素 养1了解斜二测画法的概念(重点)2会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(难点、易错点)3会根据平面图形及空间图形的直观图还原出平面图形及空间图形(难点)1通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养直观想象素养2借助于斜二测画法的相关计算，培养数学运算素养图(1)(2)是从不同角度拍摄同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？(1)(2)知识点1水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它
2、们确定的平面表示水平面(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半画平面图形直观图的关键和注意点是什么？提示(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45(或135)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变()(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应
3、线段平行于y轴，长度变为原来的()(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系xOy时，xOy必须是45()(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同()答案(1)(2)(3)(4)2下列说法正确的是()A相等的角，在直观图中仍相等B长度相等的线段，在直观图中长度仍相等C若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行D若两条线段垂直，在直观图中对应的线段仍垂直C由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确知识点2空间图形的直观图的斜二测画法规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90，且yOz90(2)画直观图时把它
4、们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy45(或135)，xOz90，x轴和y轴所确定的平面表示水平面(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半3已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为_ cm5由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm3 cm5 cm 类型1画水
5、平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图1在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接
6、成线段跟进训练1画一个锐角为45的平行四边形的直观图(尺寸自定)解如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系xOy，如图(2)在x轴上截取OAOA，OBOB(1)(2)在y轴上截取ODOD，过D作线段DCDC且DCAB，连接BC，AD，则四边形ABCD即为ABCD的直观图 类型2画空间图形的直观图【例2】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图解(1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示(2)过正三角形中心O建立z轴，画出正三棱锥顶点V，使VO3 cm，连接VA，VB，VC，如图(2)所示(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线
7、表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)(1)(2)(3)1用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系2在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可3z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致跟进训练2用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图解(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90(2)画底面：在平面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行
8、线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长(4)成图：顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示(1)(2) 类型3将直观图还原为原平面图形【例3】如图，ABC是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形以斜二测画法规则为切入点，思考直观图与平面图之间的内在联系，然后定出关键点，成图即可.解(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；(2)过B作BDy轴，交x轴于D，如图(1)所示在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；(3)连接AB，BC，得ABC则ABC即为ABC对应的平面图形，如图(2)所示(1)
9、(2)由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.跟进训练3已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积解建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C，使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，CD为ABC边AB上的高，CDa，OCaa，OCa，故SABCABOCaaa21用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原
10、来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点B根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直2把ABC按斜二测画法得到ABC(如图所示)，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C底边与腰不相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形A根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，由图易得ABBCAC2，故ABC为等边三角形，故选A3用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是_答案椭圆4如图是水平放置的ABC的直观图ABC，ABy轴，则ABC的形状是_三角形直角由斜二测画法规则知，在直观图中，ABBC，所以ABC是直角三角形5给出下列说法：正方形
11、的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为12(或21)，有一内角为45；水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；水平放置的平面图形的直观图是平面图形其中，正确的说法是_(填序号)对于，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确，但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放
12、置的直观图可以是等边三角形正确回顾本节知识，自我完成以下问题：1用斜二测画法画直观图要掌握的基本规则是什么？提示用斜二测画法画直观图要掌握：“一斜”把直角坐标系xOy变为斜坐标系xOy，使xOy45或135；“二测”平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，即“横原纵半竖原”2水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗？提示不一定因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，角度和长度可能会发生变化，所以水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形3画空间几何体的直观图的注意事项？提示转化为画平面图形的直观图；为增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示；画图时紧紧把握斜二测画法
13、的基本原则(“一斜”“二测”)；斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比直观图的其他常用画法直观图一般用作数学教学或设计，分为平行投影下画出的直观图和中心投影下画出的直观图一、平行投影画法观察图1，太阳光线(太阳光线可以看成是平行的)把一个矩形的窗框投影到地板上，窗框的影子变成了平行四边形框边的长度、框边之间的夹角有所改变，但框边的平行性没有改变另外还可看到，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变图1中，一条线段的中点投射的影子，仍是这条线段的中点正是这些不变性质，使我们能够从一个空间图形在平面上的投影来获得原来图形的大致形象图1在立体几何中，一般都是根据平行投
14、影的性质，用平面图形来表示空间图形我们已经学过的斜二测画法是一种平行投影画法下面再介绍另一种平行投影画法：正等测画法圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆圆的直观图，一般不用斜二测画法，而用正等测画法具体步骤是：(1)如图2(1)，取互相垂直的直线Ox，Oy作为已知图形O所在平面直角坐标系的x轴、y轴；画直观图时，把它们画成对应的Ox，Oy，使xOy120(或60)(如图2(2)Ox，Oy确定的平面表示水平平面(1) (2) (3)图2(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x轴或y轴的线段，且保持长度都不变(3)光滑连接线段端点，并擦去辅助线，得到O的直观图(如图2(3)这样
15、得到的圆的直观图是椭圆，这样画椭圆往往比较麻烦，我们在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板(如图3)图3图4会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥、圆台的直观图先画出底面，再用类似斜二测画法的方法画其余部分，如图4二、中心投影画法实际生活中，我们还会遇到许多不平行的光线比如，电灯泡发出的光线，可以近似地看成从一个点发出的光线图5表示一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影图5下面的两幅照片都是物体在平面上的中心投影从图5可以看到，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体所以画家常用中心投影的方法绘画，使画出来的美术作品与人们的视觉效果一致，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图
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