1、第八章立体几何初步第2课时直线与平面的位置关系(1) 考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.1. (必修2P37练习3改编)在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系可能是_答案：平行或异面解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面2. (必修2P41练习2改编)过直线l外一点P，作与l平行的平面，则这样的平面有_个答案：无数解
2、析：直线l与点P确定一个平面，记为，在平面内作直线PQ，又在平面外任取一点R，则点R与直线PQ确定一平面，记为，由直线与平面平行的判定定理易知l，因此满足题意的平面有无数个3. (必修2P37练习4改编)在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是_答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知A1F1AF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1平面ABCDEF.同理，A1F1C1D1，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1平面CC1D1D.其他各面与A1F1不满足直线与平面平行的条件故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D.4. (必
3、修2P32习题3改编)已知P是正方体ABCDA1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的直线是 _答案：DC、D1C1、A1B1解析：DC、D1C1、A1B1均平行于直线AB，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面ABP.5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，M、N分别是平面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案：平面ABC、平面ABD解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由，得MNAB，因此，MN平面ABC，且MN平面ABD.1.
4、 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行备课札记题型1基本概念辨析例1(1) 要得到直线l平面，则下列条件不正确的有_(填序号) l平行于内的所有直线； l平行于过l的平面与的交线； l平行于内的无数条直线； l和内的所有直线都没有公共点(2) 已知直线a、b和平
5、面，那么能得到ab的条件有_(填序号) a，b； a，b； b且a； a、b与成等角(3) 、表示平面，a、b表示直线，则能得到a的条件有_(填序号) 且a； b，且ab； ab且b； 且a.答案：(1) (2) (3) 如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中， AB与CD相交； MNPQ； ABPE； MN与CD异面； MN平面PQC.其中真命题的是_(填序号)答案：解析：将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以、为真命题题型2直线与平面平行例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点(1) 若E为A1C1的中点，求证：DE平面
6、ABB1A1；(2) 若E为A1C1上一点，且A1B平面B1DE，求的值(1) 证明：取B1C1中点G，连结EG、GD，则EGA1B1，DGBB1.又EGDGG， 平面DEG平面ABB1A1.又DE平面DEG， DE平面ABB1A1.(2) 解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1平面B1DEEF.因为A1B平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1BEF.所以.因为，所以.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点求证：MN平面AA1C1.证明：设A1C1中点为F，连结NF、FC. N为A1B1中点， NFB1C1，且NFB1C1.又由棱柱性质知B1C1=
7、BC，又M是BC的中点， NF=MC， 四边形NFCM为平行四边形 MNCF.又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1， MN平面AA1C1.(2014泰州中学期初调研)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE. (1) 求证：AEBE；(2) 求证：AE平面BFD.证明： (1) 平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，ADAB， AD平面ABE，ADAE. ADBC，则BCAE.又BF平面ACE，则BFAE. BCBFB， AE平面BCE， AEBE.(2) 设ACBDG，连结FG，易知G是AC的中点， BF平面ACE，则
8、BFCE.而BCBE， F是EC中点. 在ACE中，FGAE， AE平面BFD，FG平面BFD， AE平面BFD. 题型3线面平行与线线平行例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点求证：(1) BFHD1；(2) EG平面BB1D1D.证明：(1) 取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形， HD1MC1.又MC1BF， BFHD1.(2) 取BD的中点O，连结EO、D1O，则OE=DC，又D1G=DC， OE=D1G， 四边形OEGD1是平行四边形， GED1O.又D1O平面BB1D1D， EG平面BB1D1D.(
9、2013扬州调研)如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PDQA.又QA平面ABCD，QAABPD.(1) 证明： PQ平面DCQ；(2) CP上是否存在一点R，使QR平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由解： (1) 证法一： QA平面ABCD， QACD, 由四边形ABCD为正方形知DCAD，又QA 、AD为平面PDAQ内两条相交直线， CD平面PDAQ， CDPQ，在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD, 又CD 、QD为平面ADCB内两条相交直线， PQ平面DCQ.证法二： QA平面ABCD，QA平面PDAQ， 平面PDAQ平面ABCD，交线为
10、AD. 又四边形ABCD为正方形，DCAD， DC平面PDAQ，可得PQDC. 在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD, 又CD 、QD为平面ADCB内两条相交直线， PQ平面DCQ.(2) 存在CP中点R，使QR平面ABCD.证明如下：取CD中点T，连结QR、RT、AT，则RTDP，且RTDP，又AQDP，且AQDP，从而AQRT，且AQRT， 四边形AQRT为平行四边形，所以ATQR， QR平面ABCD，AT平面ABCD， QR平面ABCD.1. (2013南京模拟)直线l上有两点与平面的距离相等，则直线l与平面的位置关系是_答案：平行或相交解析：设A、B是直线l上两点，若两点A
11、、B在平面的同侧，则l，若两点A、B在平面的异侧，且线段AB的中点在上，则l与相交2. 下列命题中正确的是_(填序号) 若直线a不在内，则a； 若直线l上有无数个点不在平面内，则l； 若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交答案：解析：aA时，a， 错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l，l与无公共点， l与内任一直线都无公共点，正确；长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行， 正确3. 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_答案：解析：取A1B1的中点F，则AEF为所求角或
12、其补角设正方体棱长为2，则AE3，AF，EF2，所以cosAEF.4. 下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是_(填序号)答案：解析：由线面平行的判定定理知图可得出AB平面MNP.5. 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为AA1、CC1的中点，ACBE，点F在线段AB上，且AB4AF.若M为线段BE上一点，试确定M在线段BE上的位置，使得C1D平面B1FM.解：连结AE，在BE上取点M，使BE4ME，连结FM、B1M、FB1.在BEA中， BE4ME，AB4AF， MFAE.又在平面AA1C1C中，易证C1
13、DAE， C1DFM. C1D平面FMB1，FM平面FMB1， C1D平面B1FM.1. (2013年汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是_(填序号) 若m、n都平行于平面，则m、n一定不是相交直线； 若m、n都垂直于平面，则m、n一定是平行直线； 已知、互相平行，m、n互相平行，若m，则n； 若m、n在平面内的射影互相平行，则m、n互相平行答案：解析：为假命题，为真命题，在中，n可以平行于，也可以在内，故是假命题，在中，m、n也可能异面，故为假命题2. 、是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件： a，b； a，b； b，a.如果命题“a，b，
14、且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(填序号)答案：解析：中，a，a，b，bab(线面平行的性质)中，b，b，a，aab(线面平行的性质)3. 正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABA1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点(1) 求证：AB1平面A1BD；(2) 若点E为AO的中点，求证：EC平面A1BD.证明：(1) 连结DA、DB1、DO.ABA1A，D为C1C的中点，而DB1，DA，DB1DA.又O是正方形A1ABB1对角线的交点，DOAB1.又A1BAB1，A1BDOO，AB1平面A1BD.(2) 取A1O的中点F，在A1OA中，E是OA中点，EF= AA1.
15、又D为C1C的中点，CD= AA1.EF= CD，故四边形CDFE是平行四边形CEDF.又DF平面A1BD，CE平面A1BD，EC平面A1BD.4. 设m、n是平面外的两条直线，给出三个论断： mn； m； n.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)答案：(或)解析：当m时，由线面平行的性质定理，过m作平面与的交线m，则有mm，因为mn，所以nm，又n是平面外的直线，所以n.故.同理.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法：(1) 利用直线与平面平行的定义(无公共点)；(2) 利用直线与平面平行的判定定理(a，b，aba)；(3) 利用平面与平面平行的性质(，aa)；注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化备课札记
