1、2 充分条件与必要条件01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、充分条件和必要条件的概念若“p”成立，则“q”一定成立记作“pq”，称 p 是 q 的_；q 是 p 的_换个角度考虑，pq，就是说，为了使 q 成立，具备条件 p 就足够了反过来说，一旦 q 不成立，p 一定也不成立，q 成立对于 p 成立是必要的二、充要条件对于 p 和 q，如果有 pq，又有 qp，那么，记作 pq.这时，p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件；同时，q 既是 p 的充分条件，也是 p 的必要条件我们称 p 是 q的充分必要条件，简称_也称 p 与 q 是等价的充分条件必要条件充要条件
2、疑难提示p 是 q 的充要条件与 p 的充要条件是 q 的区别p 是 q 的充要条件指的是 pq 是充分性，p 的充要条件是 q 中，qp 是充分性想一想1若 p 是 q 的充分条件，那么 p 唯一吗？提示：不唯一，如 x3 是 x0 的充分条件，x5、x10 也是 x0 的充分条件练一练2“x0”是“x0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：“x0”“x0”，反之不一定成立答案：A3“x23x20”是“1x2”的_条件解析：由 x23x20，得 1x2，因为“1x2”是“1x2”的充分不必要条件，所以“x23x20”是“1x4，q：关于 x
3、的方程 x2mx30 有实根；(3)p：x1，或 x2，q：x1 x1；(4)在ABC 中，p：sin Asin B，q：tan Atan B.解析(1)ab0/a2b20；a2b20ab0，p 是 q 的必要不充分条件(2)当 m4 时，判别式 m2120，方程有实根，即 pq；若方程有实根，则 m2120，即 m2 3或 m2 3，推不出 m4.即 q/p，p 是 q 的充分不必要条件(3)x1，或 x2x1 x1；x1 x1x1 或 x2，p 是 q 的充要条件(4)取 A120，B30，p/q，又取 A30，B120，q/p，p 是 q 的既不充分也不必要条件判断充要条件的方法有以下几
4、种(1)判断 p 是 q 的什么条件，其实质是判断 pq 及 qp 两命题的正确性，若 pq 为真且 qp 为假，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 pq 为假而 qp 为真，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 pq 与 qp 均为真，则 p 是 q 的充要条件；若 pq 及 qp 均不正确，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)等价法：将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题(3)当不易判断 pq 的真假时，可从集合角度入手考虑建立与 p、q 相应的集合，即 p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件
5、若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 AB，且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件1“直线 ykx1 与圆(x2)2y21 相切”是“k43”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：当 k43时，圆心(2,0)到直线 y43x1 的距离为|831|432121，直线y43x1 与圆(x2)2y21 相切，故必要性成立；若直线 ykx1 与圆(x2)2y21 相切，则 k43或 k0，故充分性不成立，所以“直线 ykx1 与圆(x2)2y21 相切”是“k
6、43”的必要不充分条件，故选 C.答案：C2指出下列各题中，p 是 q 的什么条件：(1)p：(x2)(x3)0，q：x2；(2)p：同位角相等，q：两直线平行；(3)p：x3，q：x29；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形解析：(1)因为命题“若(x2)(x3)0，则 x2”是假命题，而命题“若 x2，则(x2)(x3)0”是真命题，所以 p 是 q 的必要条件，但不是充分条件，即 p 是 q 的必要不充分条件；(2)因为命题“若同位角相等，则两直线平行”是真命题，而命题“若两直线平行，则同位角相等”也是真命题，所以 p 是 q 的充要条件；(3)因为命题“若 x3，则 x
7、29”是真命题，而命题“若 x29，则 x3”是假命题，所以 p 是 q 的充分条件，但不是必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件；(4)因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”是假命题，而命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”也是假命题，所以 p 不是 q 的充分条件，也不是必要条件，即 p 是 q 的既不充分也不必要条件探究二 充要条件的证明典例 2 设 a，b，c 分别为ABC 的A，B，C 所对的边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90.证明 充分性：因为A90，所以 a2b2c2.于是方程 x22axb20 可化
8、为 x22axa2c20，即 x22ax(ac)(ac)0.所以x(ac)x(ac)0.该方程有两根：x1(ac)，x2(ac)同样，另一个方程 x22cxb20 可化为 x22cx(a2c2)0，即x(ca)x(ca)0.该方程也有两根：x3(ac)，x4(ca)从而可以发现 x1x3，所以两方程有公共根必要性：设 x 是两方程的公共根，则x22axb20，x22cxb20，由得 x(ac)，将其代入并整理可得 a2b2c2，所以A90.充要条件的证明关键是根据定义确定条件和结论，然后搞清充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件也可以理解为：证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的
9、逆命题成立3求证：关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0.证明：先证必要性：方程 ax2bxc0 有一个根为 1，x1 满足方程 ax2bxc0.a12b1c0，即 abc0.必要性成立再证充分性：abc0，cab.代入方程 ax2bxc0 中可得：ax2bxab0，即(x1)(axba)0.故方程 ax2bxc0 有一个根为 1.故关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0.4关于 x 的不等式或方程，证明 x2pxq0 的解集只含有一个元素的充要条件是 p24q.证明：先证明必要性：解 x2pxq0，若 p24q0，则不等式的
10、解集为x|p 2xp 2，与题意不符；若 0 恒成立，则不等式的解集为，也与题意不符；所以只有 p24q0，即 p24q 才使得原不等式的解集中只含有一个元素x|xp2再证明充分性：由 p24q，则原不等式可以整理成x2pxqx2pxp24(xp2)20.因此解集为x|xp2，只有一个元素综上所述，x2pxq0 的解集只含有一个元素的充要条件是 p24q.探究三 充分条件、必要条件、充要条件的应用充分条件、必要条件、充要条件的应用 判断命题的真假 求充要条件 求参数的范围5若“x23x40”是“x23ax10a20”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是()A.3，65B.2，45C(，3
11、65，D(，245，解析：x23x40 x4 或 x0，得 x5a 或 x2a，当 a0，得 x2a.由题意，得a05a42a1或a0.若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解析：q 是 p 的必要不充分条件，p 是 q 的充分不必要条件对于 p，依题意，知(2a)244(2a5)4(a28a20)0，2a10.设 Pa|2a10，Qa|1ma1m，m0，由题意知 PQ，m01m01m21m10，解得 m9，实数 m 的取值范围是9，)应用转化思想在有关命题的充分、必要条件中求参数的范围典例(1)是否存在实数 p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则
12、，说明理由(2)已知 p：x2x20，q：x23mx2m20，若 p 是 q 的必要条件，求实数 m的取值范围解析(1)由 x2x20，解得 x2 或 x2 或 x1，由 4xp0，得 Bx|xp4由题意得 BA，即p41，即 p4，此时 xp41x2x20，所以当 p4 时，“4xp0”的充分条件(2)由 p 是 q 的必要条件，得 qp，其中，p：x|1x2不等式 x23mx2m20，即(xm)(x2m)0，当 m0 时，解得 x0，符合题意；当 m0 时，解得 mx2m，依题意，得m1，2m2，所以 0m1；当 m0 时，解得 2mxm，依题意，得2m1，m2，所以12m0.综上所述，实数 m 的取值范围是12，1感悟提高 设集合 Ax|x 满足 p，Bx|x 满足 q，则命题的充分条件，必要条件与集合的基本关系的转化有以下两个途径：(1)pq 可得 AB；qp 可得 BA；(2)AB，可得 pq；BA，可得 qp.03课时 跟踪训练