1、第2节等差数列一、教材概念结论性质重现1等差数列的定义如果数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an1and恒成立，则称an为等差数列，其中d称为等差数列的公差等差数列的定义用递推公式表示为an1and(nN*，d为常数)2等差数列的通项公式(1)如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是ana1(n1)d.(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是anak(nk)d.当d0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数andn(a1d)3等差中项如果x，A，y是等差数列那么称A为x与y的等差中项，即A.4等差数列的常用性质(1)通项公式
2、的推广公式：anam(nm)d(n，mN*)d(nm)(2)若an为等差数列，且mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，wN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d.(2)等差数列an的前n项和为Sn，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.(3)等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小
3、值(4)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(5)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.数列an是等差数列数列的前n项和公式Snn2nSnAn2Bn(A，B为常数)，所以当d0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(4)已知数列an的通项公式
4、是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数()2等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()A B C2DA解析：因为a4a82a610，所以a65.又a106，所以公差d.故选A.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项的和S11等于()A58B88 C143D176B解析：S1188.4设数列an是等差数列，其前n项和为Sn.若a62且S530，则S8等于()A31B32 C33D34B解析：由已知可得解得所以S88a1d32.5一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每
5、秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过_秒落到地面20解析：设物体经过t秒降落到地面，物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，所以4.90tt(t1)9.801 960，即4.90t21 960，解得t20.考点1等差数列的定义、通项公式、基本运算基础性1等差数列an的前n项和为Sn，若a13，S535，则数列an的公差为()A2B2 C4D7B解析：因为a13，S535，所以53d35，解得d2.2(2020宜春模拟)已知等差数列an中，a11，前10项的和等于前5项的和若ama70，则m()A10B9 C8D2B解析：设等差数列an的公差为d，a11
6、.因为前10项的和等于前5项的和，且ama70，则1045d510d,2(m5)d0，解得m9.3(2021哈尔滨实验中学模拟)数列是等差数列，且a11，a3，那么a2 022()ABCDB解析：设等差数列的公差为d，且a11，a3，所以1，3，所以312d，解得d1.所以1n1n，所以an1.那么a2 0221.4(2019江苏卷)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5a80，S927，则S8的值是_16解析：设数列an的公差为d，则解得a15，d2，所以S88(5)216.等差数列运算问题的解题策略(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式
7、或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题考点2等差数列的判定与证明综合性数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：.(1)证明：因为an1，所以，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解：由(1)知2n1，所以Snn2，.证明：1.1若本例条件变为“若a11，a2，(nN*)”，求数列an的通项公式解：由已知式可得，知数列是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.2若本例条件变为“a1，na
8、n1(n1)ann(n1)”，求数列an的通项公式解：由已知可得1，即1.又a1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1n，所以ann2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项设cnbb，nN*, 求证：数列cn是等差数列证明：由题意得bana
9、n1，有cnbban1an2anan12dan1，因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以数列cn是等差数列考点3等差数列性质的应用应用性考向1等差数列项的性质问题(1)(2020宁德二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a5a89，则S9()A21B27 C30D36B解析：因为等差数列an的前n项和为Sn，且a2a5a893a5，所以a53，则S99a527.(2)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2 C4D8C解析：(方法一)设等差数列an的公差为d，依题意解得d4.(方法二)等差数列an中，S648，则a1a616a2a5.又
10、a4a524，所以a4a22d24168，所以d4.等差数列的项的性质的关注点(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn相结合命题考向2等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35B42 C49D63B解析：在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和
11、，若a12 018，6，则S2 020_.2 020解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列设其公差为d，则6d6，所以d1.故2 019d2 0182 0191，所以S2 02012 0202 020.等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则：(1)Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(2)S2nn(a1a2n)n(anan1)(3)S2n1(2n1)an.1已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2a5a6a3，则S7()A2B7 C14D28C解析：因为2a5a6a3，所以2a4da42da4d，解得a42.所以S77a414.2(2020海南模拟)已知等
12、差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则()A. B.C. D.A解析：因为等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，所以可设Snkn(n5)，Tnkn(2n1)，k0.所以a7S7S618k，b6T6T521k，所以.3设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.200解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d1016200.考点4等差数列前n项和的最值应用性等差数列
13、an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为()AS4BS5CS6DS7B解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.1本例若把条件改为“等差数列an中，S5S8”，则下列结论错误的是()AdS5DS6，S7均为Sn中的最大值C解析：由S5S6得a1a2a3a50.又因为S6S7，所以a1a2a6a1a2a6a7，所以a70，故B正确同理由S7S8，得a80.因为da7a6S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，显然C选项是错误的因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确2本例条件变为“等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，
14、S140，a1a14a7a80，a80，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.等差数列an中，若0时，n的最小值为()A14 B15 C16 D17C解析：因为数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，所以公差d0，首项a10，an为递增数列因为1，所以a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.因为Sn，所以当Sn0时，n的最小值为16. 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值四字程序读想算思n取何值时，Sn取得最大值1.Sn的表达式；2求最值的方法
15、？1.求通项公式an；2求前n项和Sn转化与化归等差数列，a120，S10S151.利用等差数列的项的符号；2利用二次函数的性质1.ann；2Snn2n1.数列的单调性；2二次函数的性质思路参考：先求基本量d，再由an确定Sn取得最大值时n的值解：因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以d.由an20(n1)n.因为a1200，d0，所以数列an是递减数列由ann0，得n13，即a130.当n12时，an0，当n14时，an0，所以当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.思路参考：先求出d，再由Sn的表达式确定其最大值解：因为a120，S10S
16、15，所以1020d1520d，所以d.Sn20nn2n2.因为nN*，所以当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.思路参考：利用等差数列的性质求解解：由S10S15得S15 S10a11a12a13a14a150，所以5a130，即a130.又d，所以当n12或13时，Sn有最大值所以S121220130.思路参考：结合二次函数知识解答解：因为等差数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10S15，所以1020d1520d，所以d.又12.5，所以n12或13时，Sn取得最大值所以S121220130.1基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算
17、求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力2基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n_时，Sn最大7解析：(方法一)由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0.故当n7时，Sn最大(方法二)由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图像关于n7对称由方法一可知a0，故当n7时，Sn最大(方法三)由方法一可知，da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大(方法四)由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80.又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大