1、第5节函数yAsin(x)的图像及简单应用一、教材概念结论性质重现1函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2用“五点法”画函数yAsin(x)一个周期内的简图用“五点法”画函数yAsin(x)(A0，0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x02xyAsin(x)0A0A0用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.3由函数ysin x的图像通过变换得到yAsin(x)(A0，0)的图像的两种方法先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)
2、，左右平移的量是个单位长度4明确以下两个关系(1)函数的周期与图像的对称性之间的关系正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设yf(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx0是对称轴方程f(x0)A，g(x0)A；(x0,0)是对称中心f(x0)0，g(x0)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)将ysin 2x的图像向右平移个单位长度，得到ysin的图像( )
3、(2)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.( )(3)若函数yAsin(x)为偶函数，则k(kZ)( )(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.( )2已知函数f(x)2sin的图像经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相分别为()A6，B6， C6，D6，A解析：由已知得2sin 1，所以sin .又|，故.因此f(x)2sin，且T6.3为了得到y3cos的图像，只要把y3cos的图像上所有点的()A纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D横坐标缩短
4、到原来的，纵坐标不变D解析：y3cos图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y3cos的图像4函数yAsin(x)(A，为常数，A0，0)在闭区间，0上的图像如图所示，则_.3解析：观察函数图像可得周期T，故T，所以3.考点1由图像确定yAsin(x)的解析式基础性1函数yAsin(x)b在一个周期内的图像如图，则函数的解析式为()Ay2sin1 By2sin1Cy2sin1 Dy2sin1D解析：结合函数yAsin(x)b在一个周期内的图像，可得A2，b1，所以2.再根据五点法作图可得20，解得，故函数的解析式为y2sin1.故选D.2已知函数f(x)Atan(x)，yf(x
5、)的部分图像如图，则f ()A2 B CD2B解析：由图像可知，T2，所以2，所以f(x)Atan(2x)因为函数过点，所以0Atan.又|，所以.又f(0)1，所以Atan 1，解得A1，所以f(x)tan，所以f tantan .3函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZD解析：由图像知，周期T22，所以2，所以.由2k，kZ，得2k，kZ.不妨取，所以f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，所以f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.由图像确定函数yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求
6、A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区间上)或把图像的最高点(最低点)的坐标代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考点2函数yAsin(x)的图像变换综合性将函数f(x)2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数解析式为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sinD解析：由函数f(x)2sin得周期T.将函数f(x)2sin的图像向右平移个周期，即为函数f(x)的图像向右平移个单位长度，得yf 2sin2sin
7、.本例条件不变，将函数f(x)的图像平移后所得图像再向右平移(0)个单位长度，可得函数g(x)的图像若yg(x)的图像关于y轴对称，则的最小值为_解析：由y2sin得g(x)2sin.又yg(x)的图像关于y轴对称，则2k，kZ，所以.又0，所以k，即当k1时，min.三角函数图像平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数ysin x经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位1(2020威海一模)已知函数f(x)sin(x)(0，|)的最小正周
8、期为，且其图像向右平移个单位长度得到函数g(x)cos x的图像，则()A. B. C. D.D解析：因为f(x)sin(x)的最小正周期为，所以，2.将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到g(x)sinsincos 2x的图像，所以2k，kZ，即2k，kZ.因为0)若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为()A16时B17时 C18时D19时D解析：由题意知，x0时，y0.5sin 3.243.49.由五点法作图知，如果当x16时，函数取得最小值，则16，得，此时函数y0.5sin3.24，函数的周期为T14.该港口在该天0时至24时内，有
9、且只有2个时刻水深为3米如果当x19时，函数取得最小值，则19，得.此时函数y0.5sin3.24，函数的周期为T，x24时，y0.5sin3.243，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻的水深为3米，不满足题意故选D.三角函数模型在实际应用中的两种类型(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模1据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)已知3月份
10、达到最高价9 000元，9月份价格最低为5 000元，则7月份的出厂价格为_元6 000解析：作出函数简图由题意知，A2 000，B7 000，T2(93)12，所以.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点，则有3，所以0，故f(x)2 000sin x7 000(1x12，xN*)所以f(7)2 000sin 7 0006 000.故7月份的出厂价格为6 000元2某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示已知6月份的平均气温最高，为28 ，12月份的平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温为_.20.5解析：依题意知，a
11、23，A5，所以y235cos.当x10时，y235cos20.5.考点4三角函数图像与性质的综合问题综合性已知函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示若f(0)，且8，B，C分别为最高点与最低点(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)由f(0)，得2sin ，即sin .又因为|0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在0,2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是()Af(x)的图像关于直线x对称Bf(x)在(0,2)上只有3个极大值点，f(x)在(0,2)上只有2
12、个极小值点Cf(x)在(0,2)上单调递增D的取值范围是D解析：函数g(x)sin x(0)向左平移个单位长度得到函数f(x)sin的图像已知f(x)在0,2上有且只有5个零点，当x0,2时，x，所以25，6)，所以.故D正确因此只有满足x，的x是f(x)在(0,2)上的极大值点，共3个；只有满足x，的x是f(x)在(0,2)上的极小值点，但当接近时，x0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.四字程序读想算思求m的最小值1.解析式如何变形？2平移变换的规则是什么？3图像关于y轴对称说明了什么？1.三角恒等变换；2图像的对称轴方程转化与化归向左平移，图
13、像关于y轴对称1.辅助角公式；2左加右减；3在x0处取得最值y2sin或y2cos1.平移变换前后，解析式之间的关系；2正弦(或余弦)型函数图像的对称性思路参考：构造正弦型函数的解析式B解析：ycos xsin x2sin，函数的图像向左平移m(m0)个单位长度，得y2sin.由xmk(kZ)，得函数y2sin的图像的对称轴为xmk(kZ)因为所得的图像关于y轴对称，所以mk0(kZ)，即mk(kZ)，则m的最小值为.思路参考：构造余弦型函数的解析式B解析：ycos xsin x2cos，向左平移m(m0)个单位长度得到y2cos.因为此函数图像关于y轴对称，所以y2cos为偶函数，易知m的最
14、小值为.思路参考：根据图像对称轴与函数最值的关系B解析：由解法1，得y2sin.因为所得的图像关于y轴对称，可得f(0)2，进而sin1，易知m的最小值为.思路参考：利用函数图像B解析：ycos xsin x2sin，可得此函数图像的对称轴为xk(kZ)，可知离y轴最近的对称轴为x和x.由图像向左平移m(m0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为.1本题考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质，基本解题方法是依据在对称轴处函数值或函数的奇偶性列方程或利用图像重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法2基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图像与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题将函数f(x)sin(2x)的图像向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)在的最大值为() A0 B CD1D解析：将函数f(x)sin(2x)的图像向左平移个单位长度后，可得函数g(x)sin的图像根据所得图像关于原点对称，可得k，kZ.因为|，所以，f(x)sin.在上，2x，故当2x时，f(x)取得最大值为1.