1、5.2平面向量的基本定理及坐标运算1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_，其中，_叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e22平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，把有序数对_叫做向量a的坐标，记作a_，其中_叫做a在x轴上的坐标，_叫做
2、a在y轴上的坐标，显然0(0,0)，i(1,0)，j(0,1)(2)设xiyj，则_就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)3平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量abababa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，即一个向量的坐标等于_(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线a_.1若a(3,2)，b(0，1)，则2ba的坐标是()A(3，4) B(3,4) C(3,4) D
3、(3，4)2已知向量a(1，m)，b(m2，m)，则向量ab所在的直线可能为()Ax轴B第一、三象限的角平分线Cy轴D第二、四象限的角平分线3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C D154e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对一、平面向量基本定理的应用【例1】已知梯形ABCD，如图所示，2，M，N分别为AD，BC的中点设e1，e2，试用e1，e2表示，.方法提炼应用平面
4、向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的请做演练巩固提升1二、平面向量的坐标运算【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.方法提炼1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用提醒：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标
5、与点A的坐标相同请做演练巩固提升2三、平面向量共线的坐标表示【例31】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A B C1 D2【例32】已知a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解提醒：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为：x1x2y1y
6、20，x1y1x2y20等请做演练巩固提升3忽视平行四边形的种类而丢解【典例】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标错解：设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)，四边形ABCD是平行四边形，.而(3,0)(1,0)(4,0)，(1，5)(x，y)(1x，5y)，(4,0)(1x，5y)，即解之得点D的坐标为(3，5)错因：(1)此解错因是思维定势，认为平行四边形只是如图所示中的一种情形，由此在解题构思中丢掉了两种情形(2)若平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求D点坐标，就只有
7、一种情况，此题目中给出了平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有ABCD1，ACD2B，ACBD3三种情形，如解答中的图所示正解：如图所示，设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)由，得D1(3，5)(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则.而(4,0)，(x1，y5)D2(5，5)(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则.而(x1，y)，(2,5)，D3(1,5)综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)答题指导：1本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错
8、误是忽视了分类讨论此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口2向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解1(2012大纲全国高考)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()Aab BabCab Dab2在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)3设a，b，且ab，则锐角x等于()A B C D4设I为ABC的内心，ABAC5，BC6，mn，则m，n分别为()A， B，C， D，5已知直角坐标平面内的两
9、个向量a(1,3)，b(m,2m3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是_参考答案基础梳理自测知识梳理1不共线有且只有1e12e2不共线的向量e1，e22(1)(x，y)(x，y)xy(2)向量的坐标3(2)(x2x1，y2y1)终点的坐标减去起点的坐标(3)bx1y2x2y10基础自测1D解析：2ba2(0，1)(3,2)(0，2)(3,2)(3，4)，故2ba(3，4)2A解析：ab(1，m)(m2，m)(m21,0)其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量ab所在的直线可能为x轴3B解析：ab，4y400，得y104A解析：对于A，e1，e2不共线，故12
10、0正确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，1e12e2一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，1，2应是唯一一对考点探究突破【例1】解：2，2e2，e2又，e2e1e2e1e2又由，得e1e2(e1e2)e2【例2】解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得【例31】B解析：a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，ab(1,2)(，0)(1，2)又(ab)c，解得【例32】解：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k(2)A，B，C三点共线，存在实数，使，即2a3b(amb)解得m演练巩固提升1D解析：ab0，ab又|a|1，|b|2，|，|(ab)ab2A解析：如图，(1,5)(4,3)(3,2)，(1,5)(3,2)(2,7)，3(6,21)3B解析：a，b，且ab，sin xcos x0，即sin 2x0sin 2x1又x为锐角，2x，x4A5m|m3解析：要使cab成立，则只需a与b不共线即可，只需满足，即3m2m3，m3高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801