1、江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共10小题.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内表示复数z=i(2+i)的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，则表示复数的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为2.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导求斜率，再求切线.【详解】，切线的斜率，
2、所以切线方程为，故选D.【点睛】本题考查曲线的切线方程和导数的几何意义.3.设，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据正态密度曲线的对
3、称性得出，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量服从正态分布，则，故选C.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5.展开式中含的项为第（ ）项A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，即可得出结论.【详解】的展开式通项为，由题意可得，所以，展开式中含的项为第项.故选：C.【点睛】本题考查利用二项展开式通项求项的序数，考查计算能力，属于基础题.6.某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中至少各选一门，则不同的选法共有
4、（ ）A. 30种B. 35种C. 42种D. 60种【答案】A【解析】【分析】根据题意，该同学所选课程共分两类：1门类选修课，2门类选修课；2门类选修课，1门类选修课；分别求出其对应的选法，再求和，即可得出结果.【详解】由题意，该同学所选课程共分两类：1门类选修课，2门类选修课；共有种选法；2门类选修课，1门类选修课；共有种选法；综上，不同的选法共有：种.故选：A.【点睛】本题主要考查分类加法计数原理应用，属于基础题型.7.从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】从分别写有
5、1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=55=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 故答案为D8.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件
6、是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值9.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为，则，所以考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布XB（n，p），则此随机变量
7、的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.10.已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ）A. B. 1C. 7D. 13【答案】D【解析】【分析】化简可得，再根据二项式定理的展开式，可知能被14整除，由此即可求结果.【详解】因为 其中能被14整除，所以要使，且恰能被14整除，所以的取值可以是.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.11.下列说法中正确的有（ ）A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不
8、变；B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越弱；D. 在一个列联表中，由计算得的值，在的前提下，的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，由条件利用方差的定义，即可判断是否正确；对于选项B，通过回归方程的性质，即可判断是否正确；对于选项C，根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性，即可判断是否正确；对于选项D，由独立性检验中的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，即可判断是否正确.【详解】根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上
9、或减去同一个常数后，方差恒不变故A正确； 变量增加一个单位时，平均减小5个单位，故B不正确； 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱，故C正确； 在一个列联表中，由计算得的值，若，则有95%的把握判断两个变量间有相关关系，因此在的前提下，的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故D正确 故选：ACD【点睛】本题主要考查了回归直线方程以及相关关系相关系数的应用，独立检验思想的应用，是基本知识的考查，熟记教材结论是关键，属于基础题.12.设函数，则下列说法正确的有（ ）A. 不等式的解集为；B. 函数在单调递增，在单调递减；C. 当时，总有恒成立；D. 若
10、函数有两个极值点，则实数.【答案】AC【解析】【分析】对于，的解集为，可得该选项正确；对于，当时，单调递增，可得该选项错误；对于，等价于，令，求出最大值，可得该选项正确；对于，函数有两个极值点，可得，则该选项错误.【详解】函数，则，对于，即，即，故该选项正确；对于，当时，单调递增，故该选项错误；对于，当，时，若，则，即，即，令，则，当，时，则单调递增，（1），则，单调递减，故，故该选项正确；对于，若函数有2个极值点，则有2个零点，即，令，则，在单调递增，在单调递减，（1），即，故该选项错误.综上，只有正确，故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立
11、问题和极值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .【答案】0【解析】由得的系数为,的系数为,所以的系数与的系数之差为0.14.为虚数单位，则复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的乘方得到即可.【详解】因为，所以，所以其虚部为-1.故答案为：-1【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_.【答案】36【解析】
12、【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，则有6636种不同的安排方式.故答案为：36.【点睛】本题考查分组分配问题，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求.16.定义在上的函数满足：，且当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先由两边对求导，根据题意，得到，推出时，都有，构造函数，对其求导，得到在上单调递减，再由，将原不等式化简得到，根据函数单调性，即可求出
13、结果.【详解】因为， 两边对求导，得到，令，则，因为当时，所以，因此，又，直线过原点，所以，因此时，都有；令，则，即函数在上单调递减，又，所以不等式可化为，即，所以，即原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，以及导数的方法判定函数的单调性，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若复数，当实数为何值时（1）是实数；（2）是纯虚数.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由是实数可得其虚部为零，由此可解得实数值；（2）由是纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，由此可解得实数的值.【详解
14、】（1）当是实数时，解得或，所以，所求的值为或；（2）当是纯虚数时，解得，所以，所求的值为.【点睛】本题考查利用复数的类型求参数的值，考查计算能力，属于基础题.18.已知二项式的展开式中各项的系数和为.（1）求；（2）求展开式中的常数项【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】观察可知，展开式中各项系数的和为，即，解出得到值利用二次展开式中的第项，即通项公式，将第一问的代入，并整理，令的次数为，解出，得到答案【详解】（1）由题意，得，即256，解得n8. （2）该二项展开式中的第项为Tr1，令0，得r2，此时，常数项为28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次
15、展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题19.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康类学生，已知体育健康类学生中有10名女生（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有的把握认为达到体育健康类学生与性别有关？非体育健康类学生体育健康类学生合计男生女生合计（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康类学生，已知体育健康类学生中有2名女生，若从体育健康类学生中任意选取2人，求至少有1名女
16、生的概率附：【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为；（2）【解析】【分析】（1）由图，知在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，其中女生10人，男生15人，由此即可完成列联表；套用公式，算出的值与3.841比较大小，即可得到本题答案；（2）由题，知体育健康类学生为5人，记表示男生，表示女生，把所有情况都列出来，则总事件有10种情况，满足至少有一名女生的情况有7种，根据古典概型的概率公式，即可求得本题答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，从而列联表如下：非体育健康类学生体育健康类学生合计男生301545女生451055合计7525100
17、由列联表中数据代入公式计算，得：，所以没有的把握认为达到体育健康类学生与性别有关（2）由频率分布直方图可知，体育健康类学生为5人，记表示男生，表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的用表示“任选2中至少有1名是女生”这一事件，则共计7种，【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，独立性检验以及古典概型的概率求法，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.20.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当时，在区间上的最小值为8，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，令，求解，即可求出单调递增
18、区间；（2）先对函数求导，得到，判定其单调性，根据所给区间上的最小值，即可求出结果.【详解】（1）当时，则，由得或；所以的单调递增区间为，.（2）因为，由得或，因为，所以，因此在区间上，随的变化情况如下：+0极大值在区间上的最小值可能在或上取得，当，得，不符合，当，得或，因为，所以，此时，符合题意，综上，.【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的单调区间，以及由函数的最值求参数的问题，解题关键在于对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，最值等，属于常考题型.21.已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】(1),对函数求导，研究函数
19、的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围.【详解】证明：当时，.令则当时，；当时，时，所以在上单调递减，在单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，即故当时，成立， ，由得.当时，；当时，所以在上单调减，在单调增，所以是函数得极小值点，也是最小值点，即当，即时，没有零点，当，即时，只有一个零点，当，即时，因为所以在上只有一个零点；由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；因此，当时，有两个零点.综上，时，没有零点；时，只有一个零点；时，有两个零点.【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重
20、点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22.已知函数，其中，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当，且时，（i）若有两个极值点，求证：；（ii）若对任意的，都有成立，求正实数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析，（ii）4.【解析】【分析】（1）求导，令，得，然后分，三种情况讨论求解. （2）（i）求导，由，是的两实根，由韦达定理得，构造函数，利用导数证明即可；（ii）当时，不等式恒成立；当时，将不等式转化为求解.【详解】（1），.令，得，.当，即时，在上递增；当，即时，在，上递增，在递减；当，即时，在，上递增，在上递减.（2）（i）证明：，.由已知，是方程，即的两实根，故，又，所以.由韦达定理得：，因为，所以，.设，则所以递增，故，即.（ii）当时，不等式恒成立；当时，不等式化为.设， 因为，所以在上单调递减.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，故.又，所以，此时.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数与不等式证明以及导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论和转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.