1、第九章平面解析几何第9课时抛 物 线考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质. 掌握抛物线的简单应用.1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是_答案：x212y解析： 3， p6， x212y.2. 抛物线y28x的准线方程是_答案：x2解析： 2p8， p4，故所求准线方程为x2.3. 抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_答案：解析：抛物线的标准方程为x2y.则a0且2，得a.4. (选修11P4
2、4习题2改编)抛物线y24x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x_答案：2解析： 2p4， p2，准线方程x1.由抛物线定义可知，点M到准线的距离为3，则x13，即x2.5. 已知斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_答案：y28x解析：依题意得，OF，又直线l的斜率为2，可知AO2OF，AOF的面积等于AOOF4，则a264.又a0，所以a8，该抛物线的方程是y28x.1. 抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的
3、准线2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形性质范围x0，yRx0，yR准线方程xx焦点对称轴关于x轴对称顶点(0，0)离心率e1标准方程x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围y0，xRy0，xR准线方程yy焦点对称轴关于y轴对称顶点(0，0)离心率e1题型1求抛物线的基本量例1抛物线y28x的焦点到准线的距离是_答案：4解析：由y22px8x知p4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.抛物线y28x的准线方程是_答案：x2解析：2p8，p4，准线方程为x2.题型2求抛物线的方程例2(选修11P44习题5改编)已知
4、抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2xy40上，求抛物线的标准方程解：直线2xy40与x轴的交点是(2，0)，与y轴的交点是(0，4)由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y28x；若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x216y；故所求抛物线方程为y28x或x216y.已知RtAOB的三个顶点都在抛物线y22px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为yx，AOB的面积为6，求该抛物线的方程解： OAOB，且OA所在直线的方程为yx，OB所在直线的方程为yx，由得A点坐标为，由得B点坐标为(6p，2p)， OA|p|，OB4
5、|p|，又SOABp26， p. 该抛物线的方程为y23x或y23x.题型3抛物线的几何性质探究例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3) 设过点M(m，0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p1.因此抛物线C的标准方程为y22x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直
6、线的斜率为1，因此所求直线的方程是xy0.(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是yk(xm)，k0.将xm代入y22x，有ky22y2km0，解得y1，2.由ME2DM知12(1)，化简得k2.因此DE2(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)2(m24m)，所以f(m)(m0)(解法2)设D，E.由点M(m，0)及2，得t2m2，t02(0s)因此t2s，ms2.所以f(m)DE(m0)抛物线y22px的准线方程为x2，该抛物线上的每个点到准线x2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l1：yx和l2：yx 相切的圆，(1)
7、 求定点N的坐标；(2) 是否存在一条直线l同时满足下列条件： l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E(4，1)； l被圆N截得的弦长为2.解：(1) 因为抛物线y22px的准线方程为x2.所以p4，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为(2，0)(2) 假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y1k(x4)，k1.以N为圆心，同时与直线l1：yx和l2：yx 相切的圆N的半径为.因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d1，解得k0或，当k0时，显然不合AB中点为E(4，1)的条件，矛盾， 当k时，l的方程为4x3y130
8、.由 ，解得点A的坐标为(13，13)；由 ，解得点B的坐标为.显然AB中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l. 1. 抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_答案：解析：设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值.2. 已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_答案：x216y解析： 双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2， 2， ba， 双曲线的渐近线方程为xy0， 抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的
9、距离为2， p8. 所求的抛物线方程为x216y.3. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM_答案：2解析：依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，2)，OM2.4. 已知抛物线D的顶点是椭圆C：1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1) 求抛物线D的方程；(2) 过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点 若直线l的斜率为1，求MN的长； 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)
10、 由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)由a2b2431，得c1， 抛物线的焦点为(1，0)， p2. 抛物线D的方程为y24x.(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2) 直线l的方程为yx4，联立整理得x212x160，即M(62，22)，N(62，22)， MN4. 设存在直线m：xa满足题意，则圆心E，过E作直线xa的垂线，垂足为E，设直线m与圆E的一个交点为G.可得|EG|2|EG|2|EE|2，即|EG|2|EA|2|EE|2ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.当a3时，|EG|23，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2，因此存在
11、直线m：x3满足题意5. 如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解：(1) 依题意，OB8，BOy30.设B(x，y)，则xOBsin304，yOBcos3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2) 由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x0
12、0)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)1. (文)已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半径，故相切(理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1
13、 m后，水面宽_ m.答案：2解析：设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，即x，所以水面宽为2.2. (文)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是_答案：2解析：依题意得F，设P，Q(y1y2)由抛物线定义及PFQF，得，所以yy，所以y1y2.又PQ2，因此|y1|y2|1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF2，由此解得p2.(理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为，求
14、拋物线与双曲线方程解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c，设拋物线方程为y24cx.拋物线过点，64c.c1，故拋物线方程为y24x.又双曲线1过点，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍)b2，故双曲线方程为4x21.3. (文)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C.若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_答案：y23x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离由|BC|2|BF|，得BCM30.又|AF|3，从而A.由A在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得p.(理)如图所示，直线l
15、1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|NB|6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段其中A、B分别为曲线段C的端点设曲线段C的方程为y22px(p0)(xAxxB，y0)，其中xA、xB为A、B的横坐标，p|MN|，M、N.由|AM|，|AN|3，得2pxA17，2pxA9.联立，解得xA，代入式，并由p0，解得或AMN为锐角三角形，xA.由点B在曲线段C上，
16、得xB|BN|4.综上，曲线C的方程为y28x(1x4，y0)4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程(1) 过点(3，2)；(2) 焦点在直线x2y40上解：(1) 设所求抛物线的方程为y22px或x22py(p0)过点(3，2)，42p(3)或92p2.p或p.所求抛物线的方程为y2x或x2y，前者的准线方程是x，后者的准线方程是y.(2) 令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)当焦点为(4，0)时，4，p8，此时抛物线的方程为y216x；焦点为(0，2)时，2，p4，此时抛物线的方程为x28y.所求抛物线的方程为y216x或x28y
17、，对应的准线方程分别是x4，y2.(理)已知定点F(0，1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1) 求动点C的轨迹方程；(2) 过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值解：(1) 由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线所求轨迹的方程为x24y.(2) 由题意直线l2的方程为ykx1，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.由直线PQ的斜率k0，易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，当且仅当k21时取到等号42816，即的最小值为16.1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用备课札记
