1、2.8函数的图象及其变换1掌握基本初等函数的图象的特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题2掌握图象的作法：描点法和图象变换法3会运用函数图象理解和研究函数性质1作图：作函数图象有两种基本方法(1)描点法其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的_；化简函数_；讨论函数的性质(_、_、_、_等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点)；再次：描点；最后：连线(2)图象变换法平移变换左右平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向_()或向_()平移_个单位而得到上下平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向_()或向_()平移_个单位而
2、得到对称变换yf(x)与yf(x)的图象关于_对称yf(x)与yf(x)的图象关于_对称yf(x)与yf(x)的图象关于_对称要得到y|f(x)|的图象，可将yf(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变而得到要得到yf(|x|)的图象，可将yf(x)，x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于_的对称性，作出x0的图象而得到伸缩变换yAf(x)(A0)的图象，可将yf(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的_倍，横坐标不变而得到yf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)图象上所有点的横坐标变为_，纵坐标不变而得到2有关函数图象的几个结论(1)若f(ax)f(bx)，xR恒
3、成立，则yf(x)的图象关于_成轴对称图形；(2)函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线_对称(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线xa与xb(ba)都对称，则f(x)为周期函数，_是它的一个周期(未必是最小正周期，下同)(4)若定义在R上的函数关于点(a，c)和(b，c)(ba)都成中心对称，则f(x)为周期函数，_是它的一个周期(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，c)成中心对称，又关于直线xb(ba)成轴对称，则f(x)是周期函数，_是它的一个周期1(2013届重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是()2函数ye|ln x|x2|的图象大致是()3定义运算ab则函
4、数f(x)12x的图象大致为()4为了得到函数y3x的图象，可以把函数yx的图象向_平移_个单位长度5若函数yf(x)的图象过点(1,1)，则函数f(4x)的图象一定经过点_一、作函数的图象【例1】作出下列函数的图象(1)y2x2；(2)y；(3)y|x|；(4)y|log2x1|方法提炼画函数图象的一般方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能
5、直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论提醒：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是在自变量上，否则不成立请做演练巩固提升1二、函数图象与解析式的对应关系【例21】(2012山东高考)函数y的图象大致为()【例22】f(x)是定义在区间c，c(c2)上的奇函数，其图象如下图所示令g(x)af(x)b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A若a0，则函数g(x)的图
6、象关于原点对称B若a1,0b2，则方程g(x)0有大于2的实根C若a2，b0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D若a0，b2，则方程g(x)0有三个实根方法提炼寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法：1知图选式：(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项2知式选图：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称
7、性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项提醒：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口请做演练巩固提升3三、函数图象的应用【例31】已知函数f(x)2x将yf(x)的图象向右平移两个单位，得到yg(x)的图象(1)求函数yg(x)的解析式；(2)若函数yh(x)与函数yg(x)的图象关于直线y1对称，求函数yh(x)的解析式【例32】若关于x的方程|x24x3|ax至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围方法提炼1利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围
8、对应值域；上升、下降趋势对应单调性、对称性对应奇偶性；2有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值；3有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解请做演练巩固提升2对端点(关键点)处理不当易致误【典例】(2012课标全国高考)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A BC(1，) D(，2)解析：由0x，且logax4x0，可得0a1，由loga可得a令f(x)4x，g(x)logax，若4xlogax，则说明当0x时，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示)，此时需a综上可得a的取值范围是答案：B答题指导：1本题易出现
9、选D现象，也就是对关键点处理不当造成的，还有可能因不熟悉对数函数的图象规律而误选A2(1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成(2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧，特别要养成验证关键点的习惯1(2012四川高考)函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()2函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D83已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x1，则函数yf(x)的图象大致是()4函数yf(x)与函数yg(x)的图象如
10、图，则函数yf(x)g(x)的图象可能是()5已知yf(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图象上两个点，则不等式|f(x1)|1的解集是()A(，3) B(，2)C(0,3) D(1,2)6如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)定义域解析式奇偶性单调性周期性对称性(2)左右a上下by轴x轴原点y轴A原来的2(1)x(2)x(ba)(3)2b2a(4)2b2a(5)4b4a基础自测1D2C解析：当x2时，yx(x2)2；当1x2时，yx(2x)2x2；当0x1时，y(2x)x20，故结合选
11、项知C正确3A解析：由ab得f(x)12x图象为选项A4右1解析：y3xx1，则只需把yx的图象向右平移1个单位长度5(3,1)解析：因为yf(x)的图象过点(1,1)，所以f(1)1所以f(43)1故函数f(4x)的图象一定经过点(3,1)考点探究突破【例1】解：(1)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图(2)因y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y的图象，如图(3)作出yx的图象，保留yx图象中x0的部分，加上yx的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，如图实线部分(4)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x轴上方
12、的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图【例21】D解析：令f(x)，则f(x)的定义域为(，0)(0，)，而f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数又因为当x时，cos 6x0,2x2x0，即f(x)0，而f(x)0有无数个根，所以D正确【例22】B解析：方法一：排除法，当a0，b0时，g(x)af(x)b是非奇非偶函数，不关于原点对称，排除A；当a2，b0时，g(x)2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，排除C；当a0，b2时，g(x)af(x)baf(x)2，当g(x)0时，有af(x)20，f(x)，从图中可以看到，当22时，f(x)才有三个实根，g(x)
13、0也不一定有三个实根，排除D；方法二：当a1,0b2时，g(x)f(x)b，由图可知，g(2)f(2)b0b0，g(c)f (c)b2b0，当x(2，c)，必有g(x)0，故B正确【例31】解：(1)由题设，g(x)f(x2)2x2(2)设(x，y)在yh(x)的图象上，(x1，y1)在yg(x)的图象上，则2yg(x)，y2g(x)，即h(x)22x2【例32】解：原方程变形为|x24x3|xa，于是，设y|x24x3|，yxa，在同一坐标系下分别作出它们的图象如图，则当直线yxa过点(1,0)时，a1；当直线yxa与抛物线yx24x3相切时，由x23xa30，由94(3a)0，得a由图象知
14、a时方程至少有三个不相等的实数根演练巩固提升1C解析：当a1时，yax是增函数，a1，则函数yaxa的图象与y轴的交点在x轴下方，故选项A不正确；yaxa的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项B不正确；当0a1时，yax是减函数，yaxa的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项C正确；若0a1，则1a0，yaxa的图象与y轴的交点在x轴上方，故选项D不正确2D解析：由题意知y的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称又y2sin x的周期为T2，也关于点(1,0)成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，如图所示，可知两个图象在2,4上有8个交点，因此8个交点的横坐标和x1
15、x2x84283C解析：易知，f(x)的图象为：由yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称，可知选C4A解析：从f(x)，g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，排除C，D5D解析：|f(x1)|11f(x1)1f(0)f(x1)f(3)，又f(x)在R上是增函数，0x131x26f(x)解析：当1x0时，设解析式为ykxb，由图象有得yx1当x0时，设解析式为ya(x2)21，图象过点(4,0)，0a(42)21，得a综上，函数f(x)在1，)上的解析式为f(x)高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801