1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-3y+a=0,aR的倾斜角为()A.6B.3C.23D.562.两直线x+y-1=0与2x+2y-3=0之间的距离为()A.2B.24C.22D.283.若直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,则它们的交点坐标为()A.(-1,-3)B.(-2,-1)C.-12,-1D.(-1,-2)4.已知直线l1:xsin -2y+5=0,l2:32x+(2-sin )y+cos2-=0,若l1l2,则sin =()A.-1B.0
2、C.1D.-1或15.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为()A.y=3x-18B.y=-3x-12C.y=3x+12D.y=-3x+186.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=x2+10x+29+x2+6x+18的最小值为()A.5B.29C.31D.2+137.设mR,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,
3、若直线l1与l2相交于点P(异于点A,B),则PAB周长的最大值为()A.2+2B.22+1C.2+1D.22+28.已知0x22,0y22,且M=(2-x)2+y2+x2+(2-y)2+(2-x)2+(22-y)2+(22-x)2+(2-y)2,则M的最小值为()A.22B.23C.2D.42二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是()A.若l1l2,则m=-1或m=3B.若l1l2,则m=-1
4、C.若l1l2,则m=-12D.若l1l2,则m=1210.在同一平面直角坐标系中,表示直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的图象可能正确的是()11.已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0不能围成三角形,则实数a的值可能为()A.1B.13C.-2D.-112.台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan 的值可以为()A.16B.12C.1D.32三、填空
5、题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0,若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程为.14.若动点A、B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点距离O的最小值为.15.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如图所示).屋顶所在直线的方程分别是y=12x+3和y=-16x+5,为保证采光,竖直窗户的高度设计为1 m,那么点A的横坐标是.16.已知点A(4,5),点B在x轴上,点C在2x-y+2=0上,则ABC周长的最小值为,此时点C的
6、坐标为.(第一个空3分,第二个空2分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l1:2x+y-2=0;l2:mx+4y+n=0(m,n为常数).(1)若l1l2,求m的值;(2)若l1l2,且它们的距离为5,求m,n的值.18.(本小题满分12分)已知三角形的顶点为A(2,3),B(0,-1),C(-2,1).(1)求直线AC的方程;(2)求点B关于直线AC的对称点D的坐标;(3)若直线l过点B且与直线AC交于点E,BE=3,求直线l的方程.19. (本小题满分12分)直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于
7、A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:(1)AOB的周长为12;(2)AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)为了绿化城市,准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形的草坪PQRD,其中AED=EDC=DCB=90,点Q在AB上,且PQCD,QRCD,经测量BC=70 m,CD=80 m,DE=100 m,AE=60 m,则应如何设计才能使草坪的占地面积最大?并求出最大面积.(结果精确到1 m2)21. (本小题满分12分)设集合L=l|直线l与直线y=3x相交,且以交点的横坐标为斜率.(1)是否存在直线l0使l0L,且l0过点
8、(1,5)?若存在,请写出l0的方程,若不存在,请说明理由;(2)点P(-3,5)到集合L中的哪一条直线的距离最小?(3)设a(0,+),点Q(-3,a)到集合L中直线的距离的最小值为f(a),求f(a)的解析式.22.(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,第一象限内有定点C和射线OA,已知直线OA,OC的倾斜角分别为,tan =3,tan =512,OC=13a(0a4),x轴上的动点M(m,0)31a30,在y轴上的截距b0;而l2的斜率b0,在y轴上的截距-a0,故A能成立.由题图B可得直线l1的斜率a0,在y轴上的截距b0;而l2的斜率b0,矛盾,故B不能成立.由题图
9、C可得直线l1的斜率a0;而l2的斜率b0,在y轴上的截距-a0,即a0,故C能成立.由题图D可得直线l1的斜率a0,在y轴上的截距b0,在y轴上的截距-a0,即a0,b0),若满足条件(1),则a+b+a2+b2=12.(3分)直线过点P43,2,43a+2b=1.由可得5a2-32a+48=0,解得a=4,b=3或a=125,b=92.(6分)则直线的方程为x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12,(8分)由题意得,43a+2b=1,由可得a2-6a+8=0,解得a=4,b=3或a=2,b=6.(10分)则直线的方
10、程为x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.(11分)综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.(12分)20.解析如图,以BC边所在直线为x轴,以AE边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,20),B(30,0).(2分)所以直线AB的方程为x30+y20=1,即y=20-23x,(5分)设Qx,20-2x3,则矩形PQRD的面积S=(100-x)80-20-2x3,(8分)即S=-23x2+203x+6 000=-23(x-5)2+6 000+503(0x30),(10分)易得当x=5,y=503时,S取得最大值
11、,最大值约为6 017 m2.(12分)21.解析(1)假设存在直线l0使l0L,且l0过点(1,5),设l0的方程为y-5=k(x-1)(k3),联立y=3x,y-5=k(x-1), 得x=5-k3-k,(2分)则5-k3-k=k,化简得k2-4k+5=0,此方程无解,故不存在直线l0符合题意.(4分)(2)设直线l的方程为y=k1x+b(k13),联立y=3x,y=k1x+b,得x=b3-k1,则b3-k1=k1,化简得b=3k1-k12,故点P(-3,5)到直线l的距离为|-3k1-5+b|k12+1=5+k12k12+1=k12+1+4k12+14,当且仅当k1=3时取等号. (6分)
12、当k1=3时,b=33-3,直线方程为y=3x+33-3,当k1=-3时,b=-33-3,直线方程为y=-3x-33-3,故点P(-3,5)与集合L中的直线y=3x+33-3和y=-3x-33-3的距离最小.(8分)(3)设直线l的方程为y=k2x+m(k23),联立y=3x,y=k2x+m,得x=m3-k2,则m3-k2=k2,化简得m=3k2-k22,故点Q(-3,a)到直线l的距离d=|-3k2-a+m|k22+1=a+k22k22+1=k22+1+a-1k22+1.当a2时,d2a-1,当且仅当k2=a-2时取等号,(10分)当0a2时,令t=k22+11,则d=t+a-1t在1,+)
13、递增,故t=1时,即k2=0时,d取得最小值,最小值为a.综上,f(a)=2a-1,a2,a,0a2.(12分)22.解析(1) 0,),tan =512,sin =513,cos =1213,又OC=13a,C(12a,5a).(2分)(2)直线OA:y=3x,M,C,A共线,当AMx轴时,M(12a,0),A(12a,36a),当AM不与x轴垂直时,设A(x0,3x0),由kMC=kMA,得5a12a-m=3x0x0-m,解得x0=5am3m-31a,经检验,当AMx轴时,A点横坐标也满足此式,S=f(m)=15am22(3m-31a)31a3m62.(5分)(3)解法一:S=f(m)=1
14、5am22(3m-31a)=15a21-31am2+3m31a3m62,记t=1m,g(t)=-31at2+3t=-31at-362a2+9124a,t162,331a.(8分)若362a162,即3a4,则函数g(t)在162,331a上递减,当且仅当t=162,即m=62时,g(t)取得最大值,即f(m)取得最小值,此时M(62,0),直线AC的方程为5ax-(12a-62)y-310a=0.(10分)若162362a331a,即0a3,则函数g(t)在162,362a上递增,在362a,331a上递减,当且仅当t=362a,即m=62a3时,g(t)取得最大值,即f(m)取得最小值,此时
15、M62a3,0,直线AC的方程为15x+26y-310a=0.(12分)解法二:记3m-31a=t,t(0,186-31a,则S=h(t)=15a2(t+31a)29t=5a6t+(31a)2t+62a,t(0,186-31a.(8分)若3a4,则186-31a31a,则h(t)在(0,186-31a上递减,当且仅当t=186-31a,即m=62时,h(t)取得最小值,此时M(62,0),直线AC的方程为5ax-(12a-62)y-310a=0.(10分)若0a31a,则h(t)在(0,31a)上递减, 在(31a,186-31a上递增,当且仅当t=31a,即m=62a3时,h(t)取得最小值,此时M62a3,0,直线AC的方程为15x+26y-310a=0.(12分)
