1、天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：1. 直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 60C. 120D. 135【答案】C【解析】【分析】根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.【详解】由题：直线的斜率为，所以倾斜角为120.故选：C【点睛】此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.2. 已知直线，与平行，则的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得：或，故选C.考点：直线平行的充要条件3. 已知动点A在圆上，则点A与定点连线中点的轨迹方程是（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，线段中点为，根据中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得线段中点的轨迹方程【详解】设，线段的中点为，则有，因此，由于点A在圆上，所以，即，整理得，即线段中点的轨迹方程为故选：A.【点睛】本题主要考查了曲线的轨迹方程的求解，其中解答中熟记代入法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4. 已知圆，则，则圆M与圆N的公切线条数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】求出两圆圆心之间的距离，与半径之和、半径之差作比较可得出答案.【详解】圆，即表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，表示以为圆心，半径等于1的的圆，两圆圆心的距离
3、等于，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差的绝对值，故两圆相交，圆M与圆N的公切线条数为2，故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查公切线的条数.5. 设M为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）A. 16，B. 18，C. 16，D. 18，【答案】D【解析】试题分析：，所以的周长为,根据余弦定理：,即,所以，故选D.考点：椭圆的几何性质6. 已知曲线，则以为中点的弦所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线l与椭圆交于，将交点坐标代入椭圆方程，利用点差法作差后，将中点坐标代入即可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可【详解】
4、设直线l与椭圆交于，因为为AB中点，则，则：， -得：，即，的方程：，即故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题7. 从点射出的光线经直线反射后到达点，则光线所经过的路程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对称性，可得关于直线的对称点，则计算，可得结果.【详解】设点关于直线的对称的点坐标为所以所以点关于直线的对称点坐标为则光线所经过的路程.故选：【点睛】本题考查点关于直线对称点的求法，属基础题.8. 如图所示，在平行六面体中，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量
5、积，便可得出答案.【详解】 ，.，即的长为. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.9. 若圆C：x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xy+m0的距离为，则m的取值范围是（）A. B. C. 2，2D. （2，2）【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆，所以，因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系判断出圆心到直线的距离满足的条件，列出不等式是解题的关键.二、填空
6、题10. 直线恒过的定点坐标是_【答案】【解析】【分析】直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.【详解】直线方程可化为因为对任意，方程恒成立，所以解得故直线恒过定点故答案为：【点睛】本题考查了直线过定点问题，考查了基本知识，属于基础题.11. 已知，若，则_【答案】【解析】【分析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.12. 如图所示，长方体中，点是线段的中点，点是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直
7、角坐标系，写出向量、的坐标，利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、，因此，直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角13
8、. 已知圆的圆心在轴上，半径长是，且与直线相切，那么圆的方程是_.【答案】，【解析】设圆心 圆心在轴上、半径为的圆与直线相切圆心到直线的距离为 ，圆的方程为，或.14. 已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题【详解】，解得故答案为【点睛】在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础15. 直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据方程可知直线恒过点，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出，再结合图
9、形求出当直线经过点，时，实数的取值，即可的的取值范围【详解】解：如图，由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，直线恒过点，因为直线与曲线只有一个交点，由圆心到直线的距离等于半径得，解得，由图，当直线经过点时，直线的斜率为，当直线经过点时，直线的斜率不存在，综上，实数的取值范围是，或，故答案为 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题三、解答题16. 已知圆心为的圆C经过点（）求圆C的标准方程；（）若直线与圆C交于A，B两点，且，求的值【答案】（）；（）或【解析】【分析】（）先由两点的距离公式求出圆的半径
10、，然后写出圆的标准方程即可（）先算出圆心到直线的距离，然后由勾股定理建立方程即可求出【详解】（）圆心为的圆C经过点，圆C的半径为 圆C的标准方程为 （）由（），知圆C的圆心为，半径为设圆C的圆心到直线的距离为，则 由题意，得 又， 或【点睛】处理圆当中的弦长问题时，一般是利用几何法，若圆的半径为、圆心到直线的距离，弦长的一半为,则有.17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点P（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A.B两点，求弦AB的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（），即可求得
11、椭圆C的方程；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长【详解】(1) 设椭圆方程为，椭圆的半焦距为c，椭圆C的离心率为，椭圆过点（），由解得：b2=，a2=4椭圆C的方程为(2) 设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，F（，0）直线l的方程为y=x联立，得5x28x+8=0，x1+x2=，x1x2=，|AB|=【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公
12、式，考查运算能力，属于中档题18. 如图，在四棱锥中，面ABCD，且，N为PD的中点（1）求证：平面（2）求平面与平面所成二面角的余弦值（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.【详解】（1）证明：过作，垂足为，则，如图，以为坐标原点，分別以，为轴建立空间直角
13、坐标系，则，为的中点，则，设平面的一个法向量为，则，令，解得：.，即，又平面，所以平面（2）设平面的一个法向量为，所以，令，解得.所以即平面与平面所成二面角的余弦值为.（3）假设线段上存在一点，设，.，则又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量，化简得，即，故存在，且.【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的证明，及线面角，面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则两直线所成的角为(),；直线与平面所成的角为(),；二面角的大小为(),19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为（1）求椭圆C的标准方程（2）直线与椭圆
14、C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为求四边形APBQ的面积的最大值设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.【答案】（1）；（2），是常数，理由见解析【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程；（2）设点、，联立，整理得：，四边形的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值；直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数【详解】（1）设椭圆的方程为由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可求得点、的坐标为，则，设直线的方程为，设点、，联立，整理得：，由，可得.由韦达定理知：，四边形的面积，故当时，；由题意知，直线的斜率，直线的斜率，则.所以的值为常数【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得