1、3.3.2抛物线的几何性质基础过关练题组一抛物线的几何性质及其应用1.(2021江苏南通海安高二上期中)下列关于抛物线y=2x2的描述正确的是()A.开口向上,焦点为0,18B.开口向右,焦点为0,18C.开口向上,焦点为0,12D.开口向右,焦点为0,122.(2021江苏南京秦淮中学高二上第一次段考)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是()A.y2=16xB.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8yD.y2=16x或x2=8y 3.(2020江苏常州前黄高级中学高二上期末)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x24-y23=1的一个焦点,则p=()A.
2、2B.10C.7D.274.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到抛物线焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为()A.3B.1 C.34D.335.(2021江苏南通如皋高二上教学质量调研)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则MF+NF=()A.5B.6 C.7D.86.一条光线从抛物线y2=2px(p0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若AB+FB=6,则抛物线的标准方程为.题组二抛物线几何性质的综合应用7.(2020江苏南通通州、海安高二上期末)探照灯反射
3、镜的纵断面是抛物线的一部分, 光源放在焦点F处.已知灯口直径为60 cm,光源距灯口的深度为40 cm,则光源到反射镜的顶点的距离为()A.5 cmB.10 cmC.15 cmD.20 cm8.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)表示的曲线大致为() A B C D9.已知双曲线y24-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为()A.1B.2C.22D.410.(多选)(2021江苏南京五校高二上联合调研考试)下列判断正确的是()A.抛物线y2=x与直线x+y-2=0仅有一个
4、公共点B.双曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0仅有一个公共点C.若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在x轴上的椭圆,则52t411.(2021江苏泰州中学高二上期中)已知抛物线y2=2px(p0),过抛物线的焦点作x轴的垂线,与抛物线交于A、B两点,点M的坐标为(-2,0),且ABM为直角三角形,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=-4xD.y2=4x12.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上期中)已知抛物线C1:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C2:y29-x216=1的渐近线的距离为55,则实数p的值为.能力提升练题组抛物线的几何性质
5、及综合应用1.(2020江苏淮安淮阴中学高二上期末考试,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x221-y228=1B.x228-y221=1C.x23-y24=1 D.x24-y23=12.(2021江苏南京高二上期中,)过抛物线y2=16x的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆与直线x=13相切,则直线l的方程为()A.y=22x-82或y=-22x+82B.y=4x-16或y=-4x+16C.y=2x-8或y=-2x+8D.y=x-4或y=-x+43.(
6、2021江苏南京六合大厂高级中学高二上学情调研,)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若FA=2FB,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4 D.34.(2021江苏扬州中学高二上期中,)过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点M在直线y=2上,O为坐标原点,则AOB的面积为()A.3102B.45C.922D.95.(多选)(2021江苏镇江中学高二上期初测评,)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点
7、为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是()A.抛物线的方程是x2=2yB.抛物线的准线方程是y=-1C.sinQMN的最小值是12D.线段AB的最小值是66.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学情调研,)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m等于()A.32 B.2C.52D.37.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)在平面直角坐标系xOy中,已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,l1,l2分别与抛物线交于点A,B和C,D,记线段AB的中点为M,
8、线段CD的中点为N,则OMON的最小值是()A.3B.4C.5 D.68.(2021江苏镇江高二上期中,)抛物线C:y2=2px的焦点F是圆x2+y2-2x=0的圆心,P为抛物线C在第一象限内的一点,且PF=3,则P点的坐标为.9.(2021江苏扬州宝应中学高二上期中,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x-2y-1=0与C交于P、Q(P在x轴上方)两点,若PF=FQ,则实数的值为.10.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)如图,马路l南边有一池塘,池塘岸MN长40米,池塘的最远端O到l的距离为400米,且池塘的边界为抛物线型,现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路AB
9、,BC,CD,且AB,BC,CD均与池塘岸线相切,记BAD=. (1)求小路的总长,用表示;(2)若在小路与池塘之间(图中阴影区域)铺上草坪,求所铺草坪面积最小时,tan 的值.答案全解全析基础过关练1.A由抛物线y=2x2,即x2=12y,可知抛物线的开口向上,焦点为0,18.故选A.2.C当焦点在x轴上时,y=0,可得焦点坐标为(4,0) ,此时抛物线的标准方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,x=0,可得焦点坐标为(0,-2),此时抛物线的标准方程为x2=-8y.故选C.3.D因为抛物线y2=2px(p0)的焦点在x轴上,开口向右,故准线在y轴左侧,双曲线x24-y23=1的左焦点为(-
10、7,0),故抛物线y2=2px的准线方程为x=-7,p2=7,p=27,故选D.4.A抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,设M(xM,yM),点M到焦点F的距离等于M到准线x=-p2的距离,xM+p2=2p,xM=32p,代入抛物线方程,解得yM=3p,kMF=yMxM-p2=3,故选A.5.C设M(x1,y1),N(x2,y2),易得直线MN的方程为y=23(x+2),将直线方程代入抛物线方程得x2-5x+4=0,则x1+x2=5,所以MF+NF=x1+1+x2+1=7,故选C.6.答案y2=4x解析从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线
11、对称轴的方向射出,AB+FB=6,5+p2=6,p=2,抛物线的标准方程为y2=4x.7.A以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,设Fp2,0(p0),则抛物线上一点的坐标为p2+40,30,代入抛物线方程得302=2pp2+40,解得p=10(负值舍去),所以p2=5,所以光源到反射镜的顶点的距离为5 cm.故选A.8.D解法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0分别转化为x21a2+y21b2=1与y2=-abx.因为ab0,所以1b21a20,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.解法二:方程ax+by2=0(ab0)中,将y换成-
12、y,其结果不变,即方程ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.9.B双曲线y24-x2=1的两条渐近线方程是y=2x,抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-p2,A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又AOB的面积为1,12p22p=1,p=2.故选B.10.BD对于A,联立y2=x,x+y-2=0,消去x,可得y2+y-2=0,因为=1+420,所以抛物线y2=x与直线x+y-2=0有两个公共点,故A错误;对于B,双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=x,直线x+y-2=0与渐近线y=-x平行,故双曲线x2-y2=1与直线x+y
13、-2=0仅有一个公共点,故B正确;对于C,若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在x轴上的椭圆,则4-tt-10,解得1t52,故C错误;对于D,若方程x24-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上的双曲线,则4-t0,解得t4,故D正确.故选BD.11.B设点A位于第一象限,直线AB的方程为x=p2,联立y2=2px,x=p2,可得x=p2,y=p,所以点Ap2,p.由抛物线的对称性可得AM=BM,所以ABM为等腰直角三角形,所以直线AM的斜率为1,即kAM=pp2+2=1,解得p=4.因此以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选B.12.答案52解析抛物线C1:x2=2py(p
14、0)的焦点为0,p2,双曲线C2:y29-x216=1的一条渐近线为y=34x,即3x-4y=0,故点0,p2到渐近线3x-4y=0的距离d=|-2p|32+(-4)2=55,即p=52.能力提升练1.D双曲线的渐近线方程是y=bax,由题意可得3=2ba,抛物线y2=47x的准线方程是x=-7,因此c=7,即a2+b2=c2=7,联立,解得a=2,b=3,所以双曲线的方程为x24-y23=1.故选D.2.B解法一:过A,B分别作准线x=-4的垂线,垂足分别为A,B,则AF=AA,BF=BB,所以以AB为直径的圆与直线x=-4相切,又以AB为直径的圆与直线x=13相切,故圆的直径为17,所以A
15、B=17.设直线l的方程为x=my+4,与抛物线方程联立,得y2-16my-64=0.记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,x1+x2=16m2+8.又AB=p+x1+x2=8+x1+x2=16m2+16=17,m=14,直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.故选B.解法二: 当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=4,根据抛物线的对称性可得以AB为直径的圆的圆心为(4,0),由y2=16x,x=4,解得y=8,此时以AB为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=64,与直线x=13相离,故直线x=4不满足题意.当直线l的斜率存在时,易知斜率不为0,设A(x1,y1
16、),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-4)(k0),联立y=k(x-4),y2=16x,化简得k2x2-(8k2+16)x+16k2=0,则x1+x2=8+16k2,x1x2=16.圆的半径为AB2=x1+x22+p2=8+8k2,且圆心到直线x=13的距离为13-x1+x22=9-8k2=8+8k2,解得k=4,故直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.3.A设抛物线的准线为l,则l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点(-2,0),记为点P,如图,过A,B分别作AMl于M,BNl于N,连接OB,则BNAM,由FA=2FB,可得AM=2BN,点B为线段AP的中点,因为点O
17、是线段PF的中点,所以OB=12AF,所以OB=BF,所以点B的横坐标为1,所以点B的坐标为(1,22),同理可得点A(4,42),所以点A到抛物线准线的距离为4+2=6,故选A.4.B易得F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=8x1,y22=8x2,即(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).由题意知y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=kAB=2,故直线l:y=2(x-2).联立y=2(x-2),y2=8x,得y2-4y-16=0,所以y1+y2=4,y1y2=-16.故|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16-4(-16)=45.所以SAOB=
18、12OF|y1-y2|=12245=45.故选B.5.BC抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F0,p2,准线方程为y=-p2,由点E(t,2)到焦点F的距离等于3,可得2+p2=3,解得p=2,则抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,故A错误,B正确;由题知直线l的斜率存在,F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),AB=y1+y2+p=4k2+2+
19、2=4k2+4,故线段AB的最小值是4,故D错误;所以圆Q的半径r=2k2+2,在等腰三角形QMN中,sinQMN=|yQ|r=2k2+12k2+2=1-12k2+21-12=12,当且仅当k=0时取等号,所以sinQMN的最小值为12,故C正确.故选BC.6.AA,B两点关于直线y=x+m对称,可设直线AB的方程为y=-x+b,联立y=-x+b,y=2x2,消去y,整理得2x2+x-b=0,直线AB与抛物线交于两点,=1+8b0,解得b-18.由根与系数的关系得x1+x2=-12,x1x2=-b2=-12,b=1,设A,B的中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=-x0+
20、1=14+1=54,又点-14,54在直线y=x+m上,54=-14+m,解得m=32.故选A.7.C易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0.由F是抛物线x2=4y的焦点,得F(0,1),设l1:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,x1+x2=-4k1=4k,y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k2+2,M(2k,2k2+1),设l2:y=-1kx+1,C(x3,y3),D(x4,y4),联立y=-1kx+1,x2=4y,消去y,得x2+4kx-4=0,x3+x4=-4k,y3+y4=-x3k+
21、1-x4k+1=-x3+x4k+2=4k2+2,N-2k,2k2+1,OMON=(2k,2k2+1)-2k,2k2+1=-4+(2k2+1)2k2+1=1+2k2+2k21+22k22k2=5,当且仅当2k2=2k2,即k=1时取等号.故选C.8.答案(2,22)解析由圆x2+y2-2x=0可得(x-1)2+y2=1,即圆心为(1,0),所以F(1,0),即p2=1,解得p=2,抛物线C的标准方程为y2=4x,设点P(xP,yP),xP0,yP0,由PF=3,得xP+p2=3,解得xP=2,代入抛物线方程可得yP2=8,解得yP=22(负值舍去).所以P点的坐标为(2,22).9.答案5+26
22、解析由题意,联立y2=4x,x-2y-1=0,解得x=5+26,y=22+23或x=5-26,y=22-23,因为P在x轴上方,所以P(5+26,22+23),Q(5-26,22-23),因为抛物线C的方程为y2=4x,所以F(1,0),所以PF=(-4-26,-22-23),FQ=(4-26,22-23),因为PF=FQ,所以(-4-26,-22-23)=(4-26,22-23),解得=-22-2322-23=5+26.10.解析(1)如图,以O为原点,CB所在直线为x轴,过点O且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,所以M(-20,400),N(20,400),因为池塘的边界为抛物线
23、型,所以可设边界所在的抛物线方程为x2=2py(p0),因为M(-20,400)是曲线上一点,所以p=12,即抛物线方程为y=x2.设AB所在的直线方程为y=kx+t(k=tan ),联立y=kx+t,y=x2,得x2-kx-t=0,因为AB与抛物线相切,所以=k2+4t=0,即t=-k24.所以x2-kx+k24=0,记直线AB与抛物线切于点Q,所以Q点的横坐标为k2,易知k2(0,20),即k(0,40).易得点B-tk,0,点A400-tk,400,由对称性可知Ctk,0,D-400-tk,400.所以小路总长为AB+BC+CD=-2tk+2400k2+4002(米),由及k=tan 可知AB+BC+CD=tan2+2400tan2+4002=tan2+800sin(0tan 40).(2)记草坪面积为S平方米,梯形面积为S1平方米,池塘面积为S2平方米,所以S=S1-S2,因为池塘面积S2为定值,所以要使得所铺草坪面积最小,只需梯形面积最小,又S1=12(BC+AD)400=122-tk+400-tk400=200800k+k8 0002,当且仅当k=202时取“=”,所以当tan =202时,梯形面积最小,即所铺草坪面积最小.
