1、第十二章 概率和统计一基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题解析： 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.2. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 .【答案】【解析】 3. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，此点到坐标原点的距离不小于2的概率是【答案】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据几何概型的概率公
2、式求出对应区域的面积，进行求解即可【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，到坐标原点的距离不小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外阴影部分，其中O为坐标原点，A（0，2），B（2，2），C（2，0）S正方形OABC=22=4，S扇形=22=所求概率为P=故答案为：4. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是30【答案】30【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果 5. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理
3、）试题）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A9B10C12D13【答案】D【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值 6. 甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）某单位为了了解用电量y度与气温x之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：由表中数据得到回归直线方程=2x+a据此预测当气温为4C时，用电量为（单位：度）气温（x）1
4、813101用电量（度）24343864【答案】68【分析】求出样本中心（，），代入求出a，结合线性回归方程进行预测即可【解析】解： =（18+13+101）=10，=（24+34+38+64）=40，则20+a=40，即a=60，则回归直线方程=2x+60当气温为4C时，用电量为=2（4）+60=68，故答案为：687. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a（0，2）与x轴围成向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=【答案】【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部
5、分的面积即可得到结论 8. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知随机变量X服从正态分布N（1，2），若P（X2a2）=P（X3a+4），则a=（）A6BCD0【答案】D【分析】根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可【解析】解：随机变量服从正态分布N（1，2），正态曲线关于x=1对称，P（X2a2）=P（X3a+4），2a2+3a+4=2，a=0，故选：D【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=1对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题9. （广西钦
6、州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）ABCD【答案】D【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 P（A/B）先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用10. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于
7、2的概率是（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，区域D：表示矩形，面积为3到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率【解析】解：区域D：表示矩形，面积为3到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=所求概率为P=故选：D【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题11. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是 A. B. C.
8、 D. 【答案】B 【命题意图】本题主要考查正态分布的概念. 12. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为()A B C. D. 【答案】 B【考点】本题考查条件概率【拓展结论】条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A).(3)为了求一些复杂事件的条件概率，往往可以先把它分解为两个
9、(或若干个)互斥事件的和，利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)进行计算，其中B，C互斥.二能力题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为
10、概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差.（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2) 的分布列为：012345，则；. 【解析】 (2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列为：012345由于，则；. (12分)2. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中
11、任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（）恰有2人申请A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 【专题】计算题；压轴题【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率（II）由题意知变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值 3. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）(本小题满分12分) 某中学
12、根据20022014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.()求与的值；()该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.【答案】（）.（）的分布列为：0123456【解析
13、】012345611分于是，. 12分4. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）某城市居民月生活用水收费标准为（t为用水量，单位：吨；W为水费，单位：元），从该市抽取的100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.（I）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；（II）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励，设X为获奖户数，求X的数学期望.【答案】（）月平均用水量的中位数为；平均水费.（）.【解析】（）依题意知这户中所交水费价格少于9.45元，即每月用水量少于吨.这样的用户占，则每月从这户中
14、随机抽取户居民获奖的概率为，则连续10个月抽取的获奖户数服从二项分布,所以. 12分5. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片（）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三个数字a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X
15、的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现 6. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）如表记录了甲、乙两名同学的10次数学成绩，满分为150分，且大于130分的成绩视为优秀假设每次考试的难度相当，甲、乙两名学生的学习水平保持不变，且不相互影响甲132108109118123115105106132149乙138109131130132123130126141142（1）求甲同学成绩的中位数和平均数
16、；（2）现从乙同学的优秀的成绩中抽取两次成绩，求至少有一次成绩超过140的概率【分析】（1）将甲同学的成绩从小到大进行排列能求出甲同学成绩的中位数，利用平均数公式能求出甲同学成绩的平均数（2）因为乙同学优秀的成绩有：131，132，138，141，142，利用对立事件概率计算公式能求出至少有一次成绩超过140的概率 7. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495，（495，500，（500，505，（5
17、05，510，（510，515）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率【分析】（ I）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X的所有可能取值为 0，1，2求出概率，得到随机变量X的分布列（）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出YB（5，0.3）然后求解所求概率 8. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团
18、组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 【专题】
19、概率与统计【分析】（）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率（）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望（）解：女生志愿者人数X=0，1，2，则，X的分布列为： X 0 1 2 PX的数学期望EX=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型9. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了5
20、0人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望附：K2=P（K2k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.828【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计
21、【分析】（）由题意求出K2，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）X的分布列为：X0123PE（X）=2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一10. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200
22、次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差.（，其中）【命题意图】本题主要考查统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法.【解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040
23、120对商品不满意701080合计15050200，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分) 11. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分12分)在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：（1）根据表中数据，求物理分对数学分的回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望附：回归方程，其中，为样本平均数.学生数学（分）8991939597物理（分）8789899293【答案】（1）；（2）详见解析.
24、【解析】试题分析：（1）根据表格当中数据以及附录的公式计算，的值即可求解；（2）离散型随机变量的所有可能取值为，再利用古典概型得到各个取值的概率求得其概率分布，进而即可求得其期望.试题解析：（1）， ，故物理分对数学分的回归直线方程是； 12. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM25就是其中一个指标。PM25指大气中直径小于或等于25微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物PM25日均值在35微克立方米以下空气质量为一级：在35微克立方米75微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标张掖市2015年10月1日至10日每天的PM25监测数据如茎叶图所示（1）在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM25日均监测数据未超标的概率； （2）某游客在此期间有两天在张掖市旅游，这两天张掖市的PM25监测数据均未超标请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望