1、7.1角与弧度7.1.1任意角学 习 任 务核 心 素 养1了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念2理解象限角的概念及终边相同的角的含义(重点)3掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法(难点)1通过终边相同角的计算，培养数学运算素养2借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0360范围内的角但是现实生活中随处可见超出0360范围的角例如体操中有“前空翻转体540”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问题呢？知识点1任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内
2、一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个任意角，将角的终边旋转角(当是正角时，按逆时针方向旋转；当是负角时，按顺时针方向旋转；当是零角时，不旋转)，这时终边所对应
3、的角称为与的和，记作.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角角的相反角记为，于是有()1.如图，角_，_.240120是按逆时针方向旋转的，为240，是按顺时针方向旋转的，为120.知识点2象限角与轴线角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角(2)轴线角：终边在坐标轴上的角2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)180是第二象限角()(2)30是第四象限角()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角()提示(1)180是轴线角(3)如375120
4、，而375和120分别是第一、二象限内的角答案(1)(2)(3)知识点3终边相同的角与角终边相同的角的集合为|k360，kZ2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？提示终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角的表示方法不唯一3.与215角终边相同的角的集合可表示为_|k360215，kZ由终边相同的角的表示可知与215角终边相同的角的集合是|k360215，kZ 类型1角的概念辨析【例1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶
5、点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420.855.510.(1)锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角1理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2象限角的判
6、定方法(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)第一步，将写成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断的终边所在的象限；第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”跟进训练1时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_，分针转过的角的度数为_1001 200时针每小时转30，分针每小时转360，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于小时，故时针转过的角度为30100；分针转过的角度为3601 200. 类型2终边相同的角与象限角【
7、例2】已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200；(3)若与终边相同的最大负角、最小正角分别为1，2，求12.思路点拨(1)把写成k360(kZ,0360)的形式后，判断所在的象限即可(2)将写成k360(kZ,0360)的形式，用观察法验证k的不同取值即可解(1)法一：1 9106360250，1 910角与250角终边相同，6360250，它是第三象限角法二：设k360(kZ)，则1 910k360(kZ)令1 910k3600，解得k5.k的最大整数解为k6，相应的250，于是2506360，它是第三象限角(2
8、)由(1)知令250k360(kZ)，取k1，2就得到符合7200的角：250360110，250720470.故110或470.(3)因为与终边相同的角为k360250 (kZ)所以取k1,0得与终边相同的最大负角为1110，最小正角为2250，所以12140.1把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值3终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍
9、(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍提醒：kZ，即k为整数这一条件不可少跟进训练2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角3在与10 030角终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的
10、负角；(2)360720内的角解与10 030角终边相同的角的一般形式为10 030k360(kZ)(1)由10 030k3600.得k36010 030，所以k，又kZ，故所求的最大负角为50.(2)由36010 030k360720，得10 390k3609 310，又kZ，解得k28，27，26.当k28时，10 0302836050，当k27时，10 03027360310，当k26时，10 03026360670，故所求的角的值为50，310，670. 类型3区域角的表示【例3】已知，如图所示分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解终边
11、落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ1.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解在0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60105与240285，所以所有满足题意的角为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)1806
12、0(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ故角的取值集合为|n18060n180105，nZ2.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解在0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150225，则所有满足条件的角为|k360150k360225，kZ表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合跟进训练4写出终
13、边落在如图所示阴影部分的角的集合解法一：设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ，角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，nZ法二：与30角终边在同一条直线上的角的集合为|k18030，kZ与18075105角终边在同一条直线上的角的集合为|k180105，kZ，
14、结合图形可知，阴影部分的角的集合为|k18030k180105，kZ 类型4角，n(nN*)所在象限的确定【例4】已知是第二象限角，求角所在的象限解法一：是第二象限角，k36090k360180(kZ)3604536090(kZ)当k为偶数时，令k2n(nZ)，得n36045n36090，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，这表明是第三象限角为第一或第三象限角法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角在本例条件下，求角2的终边的位置解是第二象限
15、角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况(2)已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下结论几何法依据数形结合思想，简单直观跟进训练5已知与330角的终边相同，判断是第几象限角解由k360330(kZ)，可得k120110 (kZ)若k
16、 3n(nZ)，则n360110(nZ)，与110角的终边相同，是第二象限角；若k3n1(nZ)，则n360230(nZ)，与230角的终边相同，是第三象限角若k3n2(nZ)，则n360350(nZ)，与350角的终边相同，是第四象限角所以是第二或第三或第四象限角1(多选题)以下说法，其中正确的有()A75是第四象限角B265是第三象限角C475是第二象限角 D315是第一象限角ABCD由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确2与45角终边相同的角是()A45B225C395D315D因为45315360，所以与45角终边相同的角是315.330角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针
17、方向旋转2周，所得角是_690由题意知，所得角是302360690.4已知990630，且角与120角的终边相同，则_.960角与120角的终边相同，k360120，kZ.又990630，990k360120630，kZ，即1 110k360750，kZ，k3.当k3时，(3)360120960.5已知0360，且与800角终边相同，则_，它是第_象限角80一因为800360280，所以80角与800角终边相同，且080360，故80，它是第一象限角回顾本节知识，自我完成以下问题1任给一个角，如何判定该角所在的象限？提示将角化为k360.(kZ，且0360)的形式，所在的象限即为任意角所在的象限2已知角的终边范围，怎样求终边相同的角的集合？提示先写出边界对应的角，再写出0360内符合条件的角的范围，最后加上k360即可