1、常考问题11三视图及空间几何体的计算(建议用时：50分钟)1(2013东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FCGD2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是 ()解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案D2如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD侧视图的面积为 ()A. B. C. D.解析由正视图及俯视图可得，在三
2、棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为的等腰直角三角形，其面积为.答案B3(2013重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()A. B. C200 D240解析由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为(28)420，所以棱柱的体积为2010200.答案C4(2013广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ()A4 B. C. D6解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V(1222)2，故选B.答案B5在具有如图所示的正视图和俯视图的
3、几何体中，体积最大的几何体的表面积为 ()A13 B73 C. D14解析由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱由图象可知四棱柱的体积最大四棱柱的高为1，底面边长分别为1，3，所以表面积为2(131131)14.答案D6(2013江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_解析设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1ShShV2，即V1V2124.答案1247一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何
4、体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为(422)216.答案168已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为_解析在RtASC中，AC1，SAC90，SC2，所以SA.同理，SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为SACSBC，故BDSC，ADBD，故SC平面ABD，且ABD为等腰三角形因为ASC30，故ADSA，则ABD的面积为1，则三棱锥SABC的体积为2.答案9已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高
5、为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD.(1)V(86)464.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h14；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h25.因此S24024.10如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EAED，FBFC.E和F是平面ABCD内的两点，EE和FF都与平面ABCD垂直(1)证明：直线E
6、F垂直且平分线段AD；(2)若EADEAB60 ，EF2.求多面体ABCDEF的体积(1)证明EAED且EE平面ABCD，EDEA，点E在线段AD的垂直平分线上同理，点F在线段BC的垂直平分线上又四边形ABCD是正方形，线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E、F都在线段AD的垂直平分线上直线EF垂直且平分线段AD.(2)解如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分设AD的中点为M，在RtMEE中，由于ME1，ME，EE.VEABCDS正方形ABCDEE22.又VEBCFVCBEFVCBEAVEABCSABCEE22，多面体
7、ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF2.11(2013广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.(1)证明在等边三角形ABC中，ABAC.ADAE，DEBC，DGBF，如图2，DG平面BCF，DG平面BCF.同理可证GE平面BCF.DGGEG，平面GDE平面BCF，DE平面BCF.(2)证明在等边三角形ABC中，F是BC的中点，AFFC，BFFCBC.在图2中，BC，BC2BF2FC2，BFC90，FCBF.BFAFF，CF平面ABF.(3)解AD，BD，ADDB21，在图2中，AFFC，AFBF，AF平面BCF，由(1)知平面GDE平面BCF，AF平面GDE.在等边三角形ABC中，AFAB，FGAF，DGBFGE，SDGEDGEG，VFDEGSDGEFG.